初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：圓精品文檔

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1、初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（八）圓一、復(fù)習(xí)要求理解并掌握圓的基本性質(zhì)，特別是對圓的對稱性的認(rèn)識，直線和圓的位置關(guān)系是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，把圓的知識與其它知識相結(jié)合（如相似三角形、解直角三角形等）是解決問題、學(xué)會方法的關(guān)鍵．二、知識結(jié)構(gòu)圓心、半徑、直徑有關(guān)概念弧、弦、弦心距三角形的外接圓、圓的內(nèi)接三角形、四邊形、正多邊形圓不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓圓的基本性質(zhì)圓的對稱性→垂徑定理及其逆定理圓心角定理→等分圓周圓的旋轉(zhuǎn)不變形→正多邊形圓周角定理及其逆定理直線與圓的相切→切點(diǎn)、切線、切線長定理圓與直線直線與圓相交→割線、割線定理（切割線定理）兩圓

2、的連心線圓與圓兩圓的公切線兩圓的公共弦1.軸對稱性在圓中得到充分的表現(xiàn)，理解并掌握對稱性對理解、運(yùn)用圓的的一些性質(zhì)是十分重要的，從下面的幾個(gè)圖形中，你從直觀的圖形即可對定理的內(nèi)容一目了然．垂徑定理：直徑AB垂直于弦CD，則⌒⌒⌒⌒PC＝PD，BC＝BD，AC＝AD.切線長定理：PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，則PA＝PB，PO平分∠APB.若⊙O1和⊙O2相交于點(diǎn)A、B.則O1O2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　垂直平分公共弦AB.　　　　　若AB、CD是⊙O1、⊙O2的兩條公切線（A、B、C、D為切點(diǎn)），則A

3、B＝CD.72.與圓有關(guān)的角我們知道，圓心角、圓周角和弦切角是與圓有關(guān)的角，在同圓或等圓中，這些角的度數(shù)與它們相應(yīng)的弧聯(lián)系在一起的，因此，要重視這些角之間的關(guān)系和它的應(yīng)用．特別是“同弧所對的圓心角是圓周角（或弦切角）的2倍”，“直徑所對的圓周角是直角”等更有用處．例如圖，△ABC中，∠A＝52o，O是AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)，則∠OCB＝o.若是利用三角形的內(nèi)角和等于180o，是可以求得∠OCB的度數(shù)，但是如果從垂直平分線的交點(diǎn)聯(lián)想到外心、外接圓，那么解題將會更有新意．∵∠A＝52o，∴∠BOC＝104o.則∠OCB＝

4、∠OBC＝38o.3.相交弦定理、割線定理（切割線定理）也應(yīng)當(dāng)是復(fù)習(xí)中的重要內(nèi)容，首先應(yīng)當(dāng)清楚，這些定理的獲得都是通過相似三角形．因此它們是解決與圓有關(guān)的比例線段問題的重要手段．例如圖，PT切⊙0于點(diǎn)T，PAB、PAD是⊙0的割線，弦AB＝35cm，AC:DB＝1:2，求PT的長．解∵△PAC∽△PDB,∴＝＝＝.則2PA＝PD＝50＋PC.2PC＝PB＝35＋PA.解得PA＝45，PC＝40.由切割線定理得，PT2＝PA·PB＝45×80則PT＝60.這些定理的應(yīng)用十分廣泛，它不僅可以解決線段成比例的問題，而且對證線段相

5、等，兩角相等以及兩直線的平行、垂直等問題也起到不小的作用．例如圖，ADB和AEC都是⊙O的割線，AP∥ED，交CB的延長線于點(diǎn)P，PF與⊙O相切于點(diǎn)F.求證：PF＝PA.分析由切割線定理知，PF2＝PB·PC.要證PF＝PA，即證PA2＝PB·PC．因此，只要證得△PAB∽△PCA即可．證明∵四邊形BCED內(nèi)接于⊙O,∴∠ADE＝∠C.又∵AP∥ED，　∴　∠PAB＝∠ADE＝∠C.在△PAB和△PCA中，∵∠PAB＝∠C，∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA.則PA2＝PB·PC．由切割線定理，得PF2＝PB·PC．

6、∴PA2＝PF2，即PA＝PF.4.圓中有不少基本圖形，這些圖形對證題、解題都會帶來一些有規(guī)律的方法，因此了解它們無疑是有幫助的，下面舉出兩例供大家復(fù)習(xí)參考，并請你想想，是否還有其它有規(guī)律的圖形呢？例１如圖，直線l是半徑為6cm和2cm兩圓的外公切線，當(dāng)兩圓外切時(shí)，外公切線長為cm，兩條外公切線的夾角為o.7從左圖中不難得出，在Rt△O1O2M中，O1O2＝6＋2＝8(cm)O1M＝6－2＝4(cm)則外公切線長AB＝O2M＝＝4(cm)或∵sin∠O1O2M＝＝＝,∴∠O1O2M＝30o.則AB＝O2M＝O1O2·co

7、s30o＝8×＝4(cm).由O2M∥AB知∠APO1＝∠MO2O1＝30o；由圓的軸對稱性知∠APE＝60o.從此題中可見，當(dāng)兩圓相交、外切或外離時(shí)，通過平移外公切線的方法，就一定可以得到一個(gè)直角三角形，它的三條邊分別為兩圓半徑差、外公切線長和圓心距（斜邊），只要這個(gè)直角三角形是可解的，那么許多問題將會迎刃而解．例２已知：如圖，⊙O和⊙O1相交于點(diǎn)A、B，⊙O1過O點(diǎn)，P是⊙O1上的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PO、OA，PO與AB相交于C點(diǎn)．求證：OA2＝OC·OP證明連結(jié)OB.⌒∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵∠P＝∠B＝A

8、O的度數(shù)．　∴∠P＝∠OAB.在△AOC和△POA中，∵∠P＝∠OAB，∠AOP＝∠COA，∴△AOC∽△POA.則＝，即OA2＝OC·OP．從此題中可見，當(dāng)一圓通過另一個(gè)圓的圓心時(shí)，就一定會獲得以下的結(jié)論．如圖，若⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⌒⌒且⊙O1經(jīng)過點(diǎn)O，則有：(1)AO2＝BO2TAO2