20 柱、錐、臺(tái)體的體積

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1、20柱、錐、臺(tái)體的體積教材分析這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)完多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)、畫法、側(cè)面積、表面積以后，在體積概念與體積公理的基礎(chǔ)上，研究柱、錐、臺(tái)體的體積．其中柱體體積是基礎(chǔ)，并且由柱體體積可推導(dǎo)出錐體體積，而根據(jù)錐體體積又可得出臺(tái)體體積．柱、錐、臺(tái)體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容，是歷年高考的重點(diǎn)．通過(guò)這節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，既要使學(xué)生知道三種幾何體體積的公式，又要讓學(xué)生知道這些公式是怎么得出的．三種幾何體的體積公式的推導(dǎo)是教學(xué)的重中之重．教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握柱、錐、臺(tái)體的體積公式及其初步應(yīng)用．2.通過(guò)對(duì)三種幾何體體積公式的探索，使學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、類比

2、、歸納、猜想等方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括及邏輯推理能力．3.通過(guò)三種幾何體體積公式的探索，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、刻苦鉆研、孜孜以求的毅力及勇于探索、創(chuàng)新的精神．任務(wù)分析對(duì)于體積這一內(nèi)容，學(xué)生早在小學(xué)就有了初步認(rèn)識(shí)，如長(zhǎng)方體的體積公式．但如何推導(dǎo)錐、臺(tái)體體積是目前的重要任務(wù)．三種幾何體的體積公式的推導(dǎo)有著密切的聯(lián)系，教學(xué)時(shí)要不斷強(qiáng)化三者之間的關(guān)系，強(qiáng)化借助用已知來(lái)研究未知這種探索問題的一般性的研究方法．柱、錐體體積公式推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)是祖原理．為此，必須將祖原理要求的三個(gè)條件務(wù)必要落實(shí)到位，只有這樣，棱柱、圓柱與長(zhǎng)方體之間的體積轉(zhuǎn)化以及一般棱錐

3、與三棱錐之間的體積轉(zhuǎn)化才能水到渠成．三棱錐體積公式的推導(dǎo)是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．要充分利用多媒體，通過(guò)課件演示，生動(dòng)形象地表現(xiàn)三棱錐與三棱柱體積之間的關(guān)系，讓學(xué)生充分體會(huì)割補(bǔ)變換這一數(shù)學(xué)思想．最后，利用臺(tái)體的定義，并緊扣臺(tái)體與錐體的關(guān)系，求出臺(tái)體體積．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景在多媒體屏幕上播出阿基米德利用水來(lái)辨別金王冠純度高低的故事．通過(guò)這個(gè)故事教師指出，在古代，人們就對(duì)體積的求法進(jìn)行了探索．接著指出我國(guó)古代在公元5世紀(jì)對(duì)體積曾進(jìn)行過(guò)比較深入的研究，引出祖原理．二、建立模型（一）祖原理在屏幕上顯示祖原理．教師強(qiáng)調(diào)這個(gè)原理在歐洲直到17世紀(jì)才被意

4、大利的卡瓦列里提出，比祖之晚1100年以上，目的在于激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情．1.學(xué)生討論教師啟發(fā)能否根據(jù)原理的思想，利用手中的課本等道具把這個(gè)原理解釋一下．2.練　習(xí)設(shè)有底面積與高都相等的長(zhǎng)方體和六棱柱，思考這兩個(gè)幾何體的體積有何關(guān)系．說(shuō)明：由于祖原理?xiàng)l件比較復(fù)雜，學(xué)生不易弄清，教師要把已知條件分析清：（1）這兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間．（2）用平行于兩個(gè)平行平面的任一平面去截兩幾何體可得兩個(gè)截面．（3）兩個(gè)截面的面積相等．只有這三個(gè)條件都具備，才能得出兩個(gè)幾何體的體積相等．（二）柱體體積公式的推導(dǎo)［問　題］設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的

5、任意一個(gè)棱柱，一個(gè)圓柱，如何求這兩個(gè)幾何體的體積？為了把這個(gè)問題讓學(xué)生水到渠成地想出來(lái)，可以提出以下幾個(gè)階梯性的問題．（1）柱體體積公式目前不知道，那么同學(xué)們會(huì)求什么特殊幾何體的體積呢？（2）根據(jù)剛才對(duì)祖原理的研究發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)幾何體滿足祖原理中的三個(gè)條件，那么這兩個(gè)幾何體的體積就可以相互轉(zhuǎn)化．柱體的體積公式目前不會(huì)求，能否利用祖原理把目標(biāo)幾何體的體積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的體積呢？教師進(jìn)一步引導(dǎo)：構(gòu)造一長(zhǎng)方體，使已知的棱柱、圓柱與構(gòu)造的長(zhǎng)方體滿足祖原理的條件．（3）長(zhǎng)方體如何出現(xiàn)呢？讓學(xué)生討論得出：已知棱柱、圓柱目前已經(jīng)夾在兩平行平面之間，并且底面

6、積相等，所以只要在兩平行平面之間放一個(gè)與前面兩幾何體底面積相等、高相等的長(zhǎng)方體即可．根據(jù)祖原理這三個(gè)幾何體的體積相等，而長(zhǎng)方體體積可以利用底面積乘高求得，故兩目標(biāo)幾何體的體積也就得出了．教師在大屏幕上顯示推導(dǎo)過(guò)程：先把棱柱放在兩平行平面之間，然后再讓長(zhǎng)方體出現(xiàn)，最后動(dòng)態(tài)地顯示三個(gè)幾何體被平行于兩個(gè)平行平面的任一平面去截兩幾何體可得三個(gè)截面；三個(gè)截面的面積相等．教師明晰：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積，即V柱體＝Sh．［練　習(xí)］已知一圓柱的底面半徑r，高是h，求圓柱的體積．教師明晰：底面半徑為r，高為h的圓柱的體積V圓柱＝

7、Sh＝πr2h．（三）錐體體積公式的推導(dǎo)1.等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積的關(guān)系［問　題］（1）剛才我們利用祖原理獲得了等底面積等高的柱體與長(zhǎng)方體（兩個(gè)柱體）等體積，那么等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積之間有什么關(guān)系呢？（2）你們?cè)趺粗浪鼈兊捏w積是相等的？（有的學(xué)生會(huì)說(shuō)是估計(jì)的）（3）能證實(shí)你們估計(jì)的結(jié)論（猜想）嗎？（有了前面連續(xù)兩次用祖原理證明等底等高的兩個(gè)柱體體積相等，學(xué)生的這個(gè)猜想就比較容易再次利用祖原理來(lái)證明）師生共同分析：用祖原理．設(shè)有任意兩個(gè)錐體，不妨選取一個(gè)三棱錐，一個(gè)圓錐，并設(shè)它們的底面積都是S，高都是h（如圖20-1）．（1）

8、把這兩個(gè)錐體的底面放在同一個(gè)平面α上．由于它們的高相等，故它們的頂點(diǎn)必在與α平行的同一個(gè)平面β上，即這兩個(gè)錐體可夾在兩個(gè)平行平面α，β之間．（2）用平行于平面α的任意平面去截這兩