大學(xué)物理第4章作業(yè)題

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1、4－10　如圖(a)所示，圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R．求：(1)以O(shè)為中心，將半徑為R／2的部分挖去，剩余部分對(duì)OO軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2)剩余部分對(duì)O′O′軸(即通過圓盤邊緣且平行于盤中心軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．分析　由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性，求解第一問可有兩種方法：一是由定義式計(jì)算，式中dm可取半徑為r、寬度為dr窄圓環(huán)；二是用補(bǔ)償法可將剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量看成是原大圓盤和挖去的小圓盤對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的差值．至于第二問需用到平行軸定理．解　挖去后的圓盤如圖(b)所示．(1)解1　由分析知解2　整個(gè)圓盤對(duì)OO軸轉(zhuǎn)

2、動(dòng)慣量為，挖去的小圓盤對(duì)OO軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由分析知，剩余部分對(duì)OO軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)由平行軸定理，剩余部分對(duì)O′O′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4－11　用落體觀察法測(cè)定飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是將半徑為R的飛輪支承在O點(diǎn)上，然后在繞過飛輪的繩子的一端掛一質(zhì)量為m的重物，令重物以初速度為零下落，帶動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖)．記下重物下落的距離和時(shí)間，就可算出飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．試寫出它的計(jì)算式．(假設(shè)軸承間無摩擦)．分析　在運(yùn)動(dòng)過程中，飛輪和重物的運(yùn)動(dòng)形式是不同的．飛輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而重物是作落體運(yùn)動(dòng)，它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)系．由于繩

3、子不可伸長(zhǎng)，并且質(zhì)量可以忽略．這樣，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，就可根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓定律聯(lián)合來確定，其中重物的加速度，可通過它下落時(shí)的勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律來確定．該題也可用功能關(guān)系來處理．將飛輪、重物和地球視為系統(tǒng)，繩子張力作用于飛輪、重物的功之和為零，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．利用勻加速運(yùn)動(dòng)的路程、速度和加速度關(guān)系，以及線速度和角速度的關(guān)系，代入機(jī)械能守恒方程中即可解得．解1　設(shè)繩子的拉力為FＴ，對(duì)飛輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有(1)而對(duì)重物而言，由牛頓定律，有(2)由于繩子不可伸長(zhǎng)，因此，有(3)重物作勻加速下落，則有(

4、4)由上述各式可解得飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解2　根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律，有(1′)而線速度和角速度的關(guān)系為(2′)又根據(jù)重物作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有(3′)(4′)由上述各式可得若軸承處存在摩擦，上述測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法仍可采用．這時(shí)，只需通過用兩個(gè)不同質(zhì)量的重物做兩次測(cè)量即可消除摩擦力矩帶來的影響．4－14　質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在圖(a)所示的組合輪兩端.設(shè)兩輪的半徑分別為R和r，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì).試求兩物體的加速

5、度和繩的張力.分析　由于組合輪是一整體，它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，它所受的力矩是兩繩索張力矩的矢量和(注意兩力矩的方向不同).對(duì)平動(dòng)的物體和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合輪分別列出動(dòng)力學(xué)方程，結(jié)合角加速度和線加速度之間的關(guān)系即可解得.解　分別對(duì)兩物體及組合輪作受力分析，如圖(b).根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有(1)(2)(3),(4)由角加速度和線加速度之間的關(guān)系，有(5)(6)解上述方程組，可得4－18　如圖所示，一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度ω0繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一

6、常量.若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，問：(1)經(jīng)過多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？(2)在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？分析　由于空氣的阻力矩與角速度成正比，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，在變力矩作用下，通風(fēng)機(jī)葉片的轉(zhuǎn)動(dòng)是變角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，在討論轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系時(shí)，必須從角加速度和角速度的定義出發(fā)，通過積分的方法去解.解　(1)通風(fēng)機(jī)葉片所受的阻力矩為M＝－Cω，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M＝Jα，可得葉片的角加速度為(1)根據(jù)初始條件對(duì)式(1)積分，有由于C和J均為常量，得(2)當(dāng)角速度由ω0→12ω0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)所需的

7、時(shí)間為(2)根據(jù)初始條件對(duì)式(2)積分，有即在時(shí)間t內(nèi)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為4－21　在光滑的水平面上有一木桿，其質(zhì)量m1＝1.0kg，長(zhǎng)l＝40cm，可繞通過其中點(diǎn)并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為m2＝10g的子彈，以v＝2.0×102m·s－1的速度射入桿端，其方向與桿及軸正交.若子彈陷入桿中，試求所得到的角速度.分析　子彈與桿相互作用的瞬間，可將子彈視為繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng).這樣，子彈射入桿前的角速度可表示為ω，子彈陷入桿后，它們將一起以角速度ω′轉(zhuǎn)動(dòng).若將子彈和桿視為系統(tǒng)，因系統(tǒng)不受外力矩作用，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守

8、恒.由角動(dòng)量守恒定律可解得桿的角速度.解　根據(jù)角動(dòng)量守恒定理式中為子彈繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2ω為子彈在陷入桿前的角動(dòng)量，ω＝2v/l為子彈在此刻繞軸的角速度.為桿繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.可得桿的角速度為4－23　一質(zhì)量為20.0kg的小孩，站在一半徑為3.00m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為450kg·m2的靜止水平轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣上，此轉(zhuǎn)臺(tái)可繞通過轉(zhuǎn)臺(tái)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與軸間的摩擦不計(jì).如果此小孩相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以1.00m·s－1的速率沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺(tái)的角速率有多大？分析　小孩與轉(zhuǎn)臺(tái)作為一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，人與轉(zhuǎn)