第七章_美式期權(quán)定價(金融衍生品定價理論講義)

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1、第七章_美式期權(quán)定價(金融衍生品定價理論講義)第七章美式期權(quán)定價由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能，使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價和套期保值的關(guān)鍵。由第三章的內(nèi)容我們知道，如果標(biāo)的股票在期權(quán)的到期日之前不分紅，則美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行，因為在到期日之前執(zhí)行將損失執(zhí)行價格的利息。但是，如果標(biāo)的股票在期權(quán)到期日以前支付紅利，則提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)可能是最優(yōu)的。提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利，而紅利的收入超過利息損失。事實上，我們將證明，投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。對于美式看跌期權(quán)而言，問題變的更復(fù)雜?？吹跈?quán)的支付以執(zhí)行價格為上界，這

2、限制了等待的價值，所以對于美式看跌期權(quán)而言，即使標(biāo)的股票不支付紅利，也可能提前執(zhí)行。提前執(zhí)行可以獲得執(zhí)行價格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性，例如可回購債券（calledbond），可轉(zhuǎn)換債券（convertiblebond），假設(shè)：11>．市場無摩擦2．無違約風(fēng)險3．競爭的市場4．無套利機(jī)會1．帶息價格和除息價格每股股票在時間t支付紅利d元。當(dāng)股票支付紅利后，我們假設(shè)股價將下降，下降t的規(guī)模為紅利的大小?？梢宰C明，當(dāng)市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差別時，這個假設(shè)是成立的。ceS(t)=S(t)+dtce這里S(t

3、)表示股票在時間t的帶息價格，S(t)表示股票在時間t的除息價格。ce這個假設(shè)的證明是非常直接的。如果上述關(guān)系不成立，即S(t)≠S(t)+d，則t存在套利機(jī)會。ce首先，如果S(t)>S(t)+d，則以帶息價格賣出股票，在股票分紅后馬上以除息t價格買回股票。因為我們賣空股票，所以紅利由賣空者支付，從而這個策略的利潤為ceceS(t)??(S(t)+d)。因為紅利是確定知道的，所以只要var(S(t)??S(t))=0，則利潤是t沒有風(fēng)險的。ce其次，如果S(t)<S(t)+d，則以帶息價格買入股票，獲得紅利后以除息價格賣tec出

4、，獲得利潤為S(t)+d??S(t)。t12．美式看漲期權(quán)在這一節(jié)，我們將證明，如果標(biāo)的股票在美式期權(quán)到期日之前分紅，則美式期權(quán)有可能提前執(zhí)行，而且，如果美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間。研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時間價值（timevalue）的概念。下面我們引入時間價值的概念并分析時間價值的性質(zhì)。符號：C(0)：美式期權(quán)在時間0的價格c(0)：歐式期權(quán)在時間0的價格S(0)：標(biāo)的股票在時間0的價格T：美式期權(quán)的到期日K：美式期權(quán)的執(zhí)行價格B(0,T)：面值為1的債券在時間0的價格PV[??]：括號內(nèi)現(xiàn)金流在

5、時間0的現(xiàn)值0考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略：在到期日，不管股票價格是否大于執(zhí)行價格，我們都執(zhí)行期權(quán)。(如果股票價格在到期日是虛值時，這個策略顯然不是最優(yōu)的，但在這個策略下美式看漲期權(quán)的現(xiàn)值是容易計算的)在這樣一個執(zhí)行策略下，美式期權(quán)等價于執(zhí)行價格為K的遠(yuǎn)期合約，所以為美式看漲期權(quán)的目前值為PV[S(T)??K]=S(0)??KB(0,T)0下面引入時間價值的概念。定義：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的時間價值為TV(0)=C(0)??[S(0)??KB(0,T)]（1）直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的

6、價值增加值。因為在到期日，期權(quán)是虛值時可以不執(zhí)行，所以時間價值是非負(fù)的。因為C(0)≥c(0)≥Max{0,S(0)??KB(0,T)}（2）所以（1）時間價值大于美歐式期權(quán)價格之差；（2）時間價值是非負(fù)的。下圖說明了看漲期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì)。2下面我們我們考慮紅利的影響。為簡單起見，假設(shè)紅利的大小和支付時間都是已知的。我們先研究在期權(quán)的有效期之內(nèi)，提前執(zhí)行可能發(fā)生的時間。性質(zhì)：給定正的利率，在兩次分紅之間或者到期日之前執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的。證明：考慮下圖0tTTodayEx-DividendDateMaturityo

7、fOption首先證明在時間t之前不會執(zhí)行。考慮兩種交易策略：策略1：馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略價值為S(0)??K策略2：等到分紅前瞬間執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間t的價值為cS(t)??K，從而該策略在時間0的價值為S(0)??KB(0,t)策略2的價值大于策略1的價值，所以應(yīng)該等待。其次證明在分紅后和到期日之前的任何時間也不會執(zhí)行。考慮兩種交易策略：e策略1：在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略在時間t的價值為S(t)??K，e策略2：等到到期日執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間T的價值為S(T)??K，e從而該策略在時間t的價值為

8、S(t)??KB(t,T)策略2的價值大于策略1的價值，所以應(yīng)該等待。如果期權(quán)的執(zhí)行不是發(fā)生在分紅前的瞬間，則會損失利息但不會有任何收入。提前執(zhí)行的唯一收入是獲取紅