第七章美式期權(quán)定價(金融衍生品定價理論講義)

《第七章美式期權(quán)定價(金融衍生品定價理論講義)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、第七章美式期權(quán)定價由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能，使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價和套期保值的關(guān)鍵。由第三章的內(nèi)容我們知道，如果標的股票在期權(quán)的到期日之前不分紅，則美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行，因為在到期H之前執(zhí)行將損失執(zhí)行價格的利息。但是，如果標的股票在期權(quán)到期FI以前支付紅利，則提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)町能是最優(yōu)的。提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利，而紅利的收入超過利息損火。事實上，我們將證明，投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。對于美式看跌期權(quán)而言，問題變的更復雜?？吹跈?quán)的支付以執(zhí)行價格為上界，這限制了等待的價值，所以對于美式看跌期權(quán)而言，即使標的股票

2、不支付紅利，也可能提前執(zhí)行。提前執(zhí)行可以獲得執(zhí)行價格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性，例如可回購債券(calledbond),可轉(zhuǎn)換債券(convertiblebond),假設(shè)：1.市場無摩擦2.無違約風險3.競爭的市場4.無套利機會1.帶息價格和除息價格每股股票在時間f支付紅利/元。當股票支付紅利后，我們假設(shè)股價將下降，下降的規(guī)模為紅利的大小?？梢宰C明，當市場無套利FL在資本收益和紅利收入Z間沒冇稅收差別時，這個假設(shè)是成立的。S((f)=S{)+G這里S°(/)表示股票在時間/的帶息價格，S”(f)表示股票在時間/的除息價格。這個假設(shè)的證

3、明是非常直接的。如果上述關(guān)系不成立，即Sc(t)^Se(t)+dt，則存在套利機會。首先，如果S《)>S°(/)+d「則以帶息價格賣出股票，在股票分紅后馬上以除息價格買回股票。因為我們賣空股票，所以紅利由賣空者支付，從而這個策略的利潤為S?-(s?+dj。因為紅利是確定知道的，所以只要燉(s?—sp))=o,則利潤是沒有風險的。其次，如果s"(”

4、權(quán)提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間。研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時間價值（timevalue）的概念。下面我們引入時間價值的概念并分析時間價值的性質(zhì)。符號：c（o）：美式期權(quán)在時間0的價格c（0）：歐式期權(quán)在時間0的價格5（0）:標的股票在時間0的價格T:美式期權(quán)的到期日K:美式期權(quán)的執(zhí)行價格B（O,T）:面值為1的債券在時間（）的價格叫［丄括號內(nèi)現(xiàn)金流在時間0的現(xiàn)值考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略：在到期日，不管股票價格是否人于執(zhí)行價格，我們都執(zhí)行期權(quán)。（如果股票價格在到期H是虛值吋，這個策略顯然不是最優(yōu)的，但在這個策略下美式看漲期權(quán)

5、的現(xiàn)值是容易計算的）在這樣一個執(zhí)行策略下，美式期權(quán)等價于執(zhí)行價格為K的遠期合約，所以為美式看漲期權(quán)的I」前值為P匕［S（?j-K卜S（0）-KB（0,T）下而引入時間價值的概念。定義：以不支付紅利的股票為標的物的美式看漲期權(quán)的時間價值為7V（0）=C（0）-［5（0）-KB（0,T）］（1）直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價值增加值。因為在到期FI,期權(quán)是虛值時町以不執(zhí)行，所以時間價值是非負的。因為C（0）＞c（0）＞Max{0,S（0）-KB（0,廠）}（2）所以（1）時間價值大于美歐式期權(quán)價格之差；（2）時間價值是非負的

6、。下圖說明了看漲期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì)。下面我們我們考慮紅利的影響。為簡單起見，假設(shè)紅利的大小和支付吋間都是已知的。我們先研究在期權(quán)的有效期之內(nèi)，提前執(zhí)行可能發(fā)生的時間。性質(zhì)：給定正的利率，在兩次分紅之間或者到期日之詢執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的。證明：考慮下圖0tTTodayEx-DividendDateMaturityofOption首先證明在時間t之前不會執(zhí)行。考慮兩種交易策略：策略1：馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略價值為s(o)-K策略2：等到分紅前瞬間執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在時間/的價值為Sc(r)-K,從而該策略在時間0的價值

7、為S(0)-KB(0,t)策略2的價值人于策略1的價值，所以應該等待。其次證明在分紅后和到期FI之前的任何時間也不會執(zhí)行?？紤]兩種交易策略：策略1：在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán)。這個策略在吋間f的價值為S"(f)-K,策略2：等到到期日執(zhí)行，即使期權(quán)是虛值的。這個策略在吋間7的價值為Se(T)-Kf從而該策略在時問f的價值為Sp)-KB(f,T)策略2的價值大于策略1的價值，所以應該等待。如果期權(quán)的執(zhí)行不是發(fā)生在分紅前的瞬間，則會損失利息但不會有任何收入。提前執(zhí)行的唯一收入是獲取紅利，所以美式期權(quán)除了在分紅前的瞬間和到期H外，其余時間不會執(zhí)行。下面討論在什么條件

8、下會在分紅前瞬間提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。我們通過比較分紅前瞬間執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲