第七章 美式期權(quán)定價(jià)(金融衍生品定價(jià)理論講義)

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1、第七章美式期權(quán)定價(jià)由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能,使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價(jià)和套期保值的關(guān)鍵。由第三章的內(nèi)容我們知道,如果標(biāo)的股票在期權(quán)的到期日之前不分紅,則美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行,因?yàn)樵诘狡谌罩皥?zhí)行將損失執(zhí)行價(jià)格的利息。但是,如果標(biāo)的股票在期權(quán)到期日以前支付紅利,則提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)可能是最優(yōu)的。提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利,而紅利的收入超過利息損失。事實(shí)上,我們將證明,投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán)。對(duì)于美式看跌期權(quán)而言,問題變的更復(fù)雜??吹跈?quán)的支付以執(zhí)行價(jià)格為上界,這限制了等待的

2、價(jià)值,所以對(duì)于美式看跌期權(quán)而言,即使標(biāo)的股票不支付紅利,也可能提前執(zhí)行。提前執(zhí)行可以獲得執(zhí)行價(jià)格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性,例如可回購債券(calledbond),可轉(zhuǎn)換債券(convertiblebond),假設(shè):1.市場無摩擦2.無違約風(fēng)險(xiǎn)3.競爭的市場4.無套利機(jī)會(huì)1.帶息價(jià)格和除息價(jià)格每股股票在時(shí)間支付紅利元。當(dāng)股票支付紅利后,我們假設(shè)股價(jià)將下降,下降的規(guī)模為紅利的大小。可以證明,當(dāng)市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差別時(shí),這個(gè)假設(shè)是成立的。這里表示股票在時(shí)間的帶息價(jià)格,

3、表示股票在時(shí)間的除息價(jià)格。這個(gè)假設(shè)的證明是非常直接的。如果上述關(guān)系不成立,即,則存在套利機(jī)會(huì)。首先,如果,則以帶息價(jià)格賣出股票,在股票分紅后馬上以除息價(jià)格買回股票。因?yàn)槲覀冑u空股票,所以紅利由賣空者支付,從而這個(gè)策略的利潤為。因?yàn)榧t利是確定知道的,所以只要=0,則利潤是沒有風(fēng)險(xiǎn)的。其次,如果,則以帶息價(jià)格買入股票,獲得紅利后以除息價(jià)格賣出,獲得利潤為。5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestm

4、ent,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve112.美式看漲期權(quán)在這一節(jié),我們將證明,如果標(biāo)的股票在美式期權(quán)到期日之前分紅,則美式期權(quán)有可能提前執(zhí)行,而且,如果美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行,則提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間。研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值(timev

5、alue)的概念。下面我們引入時(shí)間價(jià)值的概念并分析時(shí)間價(jià)值的性質(zhì)。符號(hào)::美式期權(quán)在時(shí)間0的價(jià)格:歐式期權(quán)在時(shí)間0的價(jià)格:標(biāo)的股票在時(shí)間0的價(jià)格:美式期權(quán)的到期日:美式期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格:面值為1的債券在時(shí)間0的價(jià)格:括號(hào)內(nèi)現(xiàn)金流在時(shí)間0的現(xiàn)值考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略:在到期日,不管股票價(jià)格是否大于執(zhí)行價(jià)格,我們都執(zhí)行期權(quán)。(如果股票價(jià)格在到期日是虛值時(shí),這個(gè)策略顯然不是最優(yōu)的,但在這個(gè)策略下美式看漲期權(quán)的現(xiàn)值是容易計(jì)算的)在這樣一個(gè)執(zhí)行策略下,美式期權(quán)等價(jià)于執(zhí)行價(jià)格為的遠(yuǎn)期合約,所以為美式看漲期權(quán)的目前值

6、為=下面引入時(shí)間價(jià)值的概念。定義:以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值為(1)直觀上來說,時(shí)間價(jià)值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價(jià)值增加值。因?yàn)樵诘狡谌?,期?quán)是虛值時(shí)可以不執(zhí)行,所以時(shí)間價(jià)值是非負(fù)的。因?yàn)椋?)所以(1)時(shí)間價(jià)值大于美歐式期權(quán)價(jià)格之差;(2)時(shí)間價(jià)值是非負(fù)的。下圖說明了看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值作為股票價(jià)格的函數(shù)的性質(zhì)。5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvest

7、ment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve11下面我們我們考慮紅利的影響。為簡單起見,假設(shè)紅利的大小和支付時(shí)間都是已知的。我們先研究在期權(quán)的有效期之內(nèi),提前執(zhí)行可能發(fā)生的時(shí)間。性質(zhì):給定正的利率,在兩次分紅之間或者到期日之前執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的。證明:考慮下圖0T

8、odayEx-DividendDateMaturityofOption首先證明在時(shí)間之前不會(huì)執(zhí)行??紤]兩種交易策略:策略1:馬上執(zhí)行期權(quán)。這個(gè)策略價(jià)值為策略2:等到分紅前瞬間執(zhí)行,即使期權(quán)是虛值的。這個(gè)策略在時(shí)間的價(jià)值為,從而該策略在時(shí)間0的價(jià)值為策略2的價(jià)值大于策略1的價(jià)值,所以應(yīng)該等待。其次證明在分紅后和到期日之前的任何時(shí)間也不會(huì)執(zhí)行??紤]兩種交易策略:策略1:在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán)。這個(gè)策略在時(shí)

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