高數(shù)教案第二章極限與連續(xù)

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1、第一章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限教學(xué)目的：理解數(shù)列極限的概念，掌握數(shù)列極限的定義教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：數(shù)列極限的概念，理解掌握數(shù)列極限的定義教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時(shí)間：90分鐘教學(xué)過(guò)程一、引入新課半徑為R的圓的面積公式？但是得到圓面積這個(gè)計(jì)算公式卻是不容易的.看電視http://v.youku.com/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html三國(guó)時(shí)代我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽（約公無(wú)225年—295年）創(chuàng)造了“割圓術(shù)”，成功地推算出圓周率和圓的面積。圓周率是對(duì)圓形和球體進(jìn)行數(shù)學(xué)分析時(shí)不可缺少的一個(gè)常數(shù)，各國(guó)古代科學(xué)家均將圓周率作為一個(gè)重要課題。我國(guó)最早采用的圓

2、周率數(shù)值為三，即所謂“徑一周三”?！毒耪滤阈g(shù)》中就采用了這個(gè)數(shù)據(jù)。與劉徽類(lèi)似的是，古希臘的阿基米德也用正多邊形法去求圓周率。但是阿基米德是用歸謬法證得這一結(jié)果的，避開(kāi)了極限概念，而劉徽卻大膽地應(yīng)用了以直代曲、無(wú)限趨近的思想方法；且阿基米德的方法需另外計(jì)算圓外切正多邊形面積，劉徽的方法則只需求內(nèi)接正多邊形面積。與阿基米德比，劉徽的割圓術(shù)可謂事半功倍。二、新授課1、一個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明的事實(shí)對(duì)于一個(gè)半徑為R的圓，先作圓內(nèi)接正六邊形，記其面積為；再作圓內(nèi)接正十二邊形，記其面積為，循此下去，每次邊數(shù)成倍增加，得到一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積構(gòu)成一列有次序的數(shù),其中內(nèi)接正邊形的面積記為。練習(xí)

3、題1。求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形ABC的面積；內(nèi)接正n邊形的面積。答案：練習(xí)題2。求半徑為R的圓外切正三角形ABC的面積；外切正n邊形的而積；答案：如果內(nèi)接正n邊表的面積為，圓的面積為A，外接正n邊形的面積為，則有161在幾何直觀上,當(dāng)n越大，對(duì)應(yīng)的內(nèi)接正多邊形就越接近于圓，,即圓與正多邊形的面積（）之差就越小,因此以（）作為圓面積的近似值就越精確.但無(wú)論內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)有多大,所計(jì)算的（）始終不是圓的面積.于是設(shè)想,如果n無(wú)限增大(記為，讀作n趨于無(wú)窮大)時(shí),（）無(wú)限接近某個(gè)確定的數(shù)。在數(shù)學(xué)上稱(chēng)這個(gè)確定數(shù)是上面給出的一列有次序的數(shù)(即數(shù)列)，（）當(dāng)時(shí)的極限。在圓面積問(wèn)

4、題的討論中,大家看到,正是這個(gè)數(shù)列極限才精確地表達(dá)了圓面積的結(jié)果,也可以說(shuō),解決圓面積所采用的方法就是極限方法。2、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系按照一定順序排列著的一列數(shù)就叫做數(shù)列，記為{}，其中第n項(xiàng)做叫數(shù)列的一般項(xiàng)。數(shù)列的例子：它們的一般項(xiàng)依次為數(shù)列{}可以看作自變量為自然數(shù)n的函數(shù)它的定義域是全體正整數(shù)。3、數(shù)列的幾何意義從一維角度考察，數(shù)列{}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)然而，從二維角度考察，數(shù)列{}可以看作XOY面上的點(diǎn)集{（n，）}，在XOY平面上數(shù)列{}表現(xiàn)為一個(gè)散點(diǎn)圖。1614、數(shù)列的散點(diǎn)圖在XOY平面上畫(huà)出如下數(shù)列的散點(diǎn)圖：（1）；（2）（3）（4）

5、{}（5）（6）{sinn}輸出圖形如（圖2—1）至圖（2—6）所示。（圖2—1數(shù)列）（圖2—2）數(shù)列（圖2—3數(shù)列）（圖2—4）數(shù)列{}（圖2—5）數(shù)列的圖形（圖2—6）數(shù)列{}由（圖2—1）至圖（2—6）可以看出，隨著n的增大，越來(lái)越趨向于1；161越來(lái)越大；越來(lái)越趨向于0；－１與１之間變動(dòng)；　越來(lái)越趨向于１；sinn在－１與１之間變動(dòng)．5、數(shù)列極限的直觀定義對(duì)于數(shù)列{}，如果當(dāng)ｎ無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的一般項(xiàng)無(wú)限地接近于某一確定的常數(shù)ａ，則稱(chēng)常數(shù)ａ是數(shù)列{}的極限，或稱(chēng)數(shù)列{}收斂于ａ，記為如果數(shù)列沒(méi)有極限，稱(chēng)數(shù)列是發(fā)散的，例如，　　?。剑薄?，?。剑啊?，　?。剑倍?，{}，

6、{sinn}　是發(fā)散的．三、本節(jié)小結(jié)：數(shù)列與數(shù)列極限的概念四、課外作業(yè)：P21習(xí)題2—11。選擇題（1），（2）161第一章極限與連續(xù)第二節(jié)數(shù)列的極限教學(xué)目的：掌握數(shù)列極限的定義，會(huì)用定義證明數(shù)列的極限，了解收斂數(shù)列的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：用定義證明數(shù)列的極限教學(xué)形式：講授法教學(xué)時(shí)間：90分鐘教學(xué)過(guò)程一、引入新課數(shù)列的極限描述性定義與幾何表現(xiàn)例如：數(shù)列是有極限的，它的圖象如下：ListPlot[Table[（n+{n，1，50}]]圖2-5對(duì)于數(shù)列{}，如果當(dāng)ｎ無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的一般項(xiàng)無(wú)限地接近于某一確定的常數(shù)ａ，則稱(chēng)常數(shù)ａ是數(shù)列{}的極限，或稱(chēng)數(shù)列{}收斂于ａ，記為如果

7、數(shù)列沒(méi)有極限，稱(chēng)數(shù)列是發(fā)散的。二、新授課1、數(shù)列極限的精確定義設(shè)有數(shù)列{}及常數(shù)a，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則稱(chēng)常數(shù)a為數(shù)列{}的極限，或稱(chēng)數(shù)列{}收斂于a，記作或，如果這樣的常數(shù)a不存在，就說(shuō)數(shù)列沒(méi)有極限，或稱(chēng)數(shù)列發(fā)散。在直角平面坐標(biāo)系OXY的Y軸上取以為a為中心，為半徑的一個(gè)開(kāi)區(qū)間161，稱(chēng)它為a的鄰域，記為O（a，）：O（a，）={}“當(dāng)時(shí)，不等式成立”表示數(shù)列中從N+1項(xiàng)起的所有項(xiàng)都落花流水在點(diǎn)a的鄰域，即。由于具有任意性，也就是說(shuō)鄰域O（a，）的長(zhǎng)度中（如圖2-5）上下兩條橫線