高數(shù)極限與連續(xù)課件.ppt

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1、第二章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)極限運(yùn)算法則、兩個重要極限第四節(jié)無窮小與無窮大第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的性質(zhì)三、小結(jié)正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、數(shù)列極限的概念例如注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.2.數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)問題:當(dāng)無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃“無限接近”？如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例

2、1證所以,注意：例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例3證1、唯一性定理1如果數(shù)列收斂，則數(shù)列的極限只有一個.證由定義,,故收斂數(shù)列極限唯一.二、數(shù)列極限的性質(zhì)2、有界性例如,有界無界定理2如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.注意：有界數(shù)列也可能發(fā)散3.收斂數(shù)列的保號性4、子數(shù)列的收斂性注意：例如，定理4收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．證證畢．三、小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾

3、何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性.第二節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)四、極限存在準(zhǔn)則一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限1、定義：2、幾何解釋:注意：例1證例2證例3證函數(shù)在點(diǎn)x=-1處沒有定義.3.單側(cè)極限:例如,左極限右極限左右極限存在但不相等,例4證二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.1、定義：2、另兩種情形:3、幾何解釋:例5證三、函數(shù)極限的性質(zhì)定理3(函數(shù)極限的保號性)推論定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)證例6證

4、二者不相等,四、極限存在準(zhǔn)則證上面兩個不等式同時成立,即上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限。注意:準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則I'稱為夾逼準(zhǔn)則.例1解由夾逼準(zhǔn)則得2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:例2證(舍去)思考題思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第三節(jié)極限運(yùn)算法則、兩個重要極限一、極限運(yùn)算法則二、例題三、兩個重要極限1、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理1在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證一、極限運(yùn)算法則注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是

5、無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小推論3可推廣到任意個無窮小的乘積的情形。定理3證由無窮小運(yùn)算法則,得2.極限的四則運(yùn)算推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，意義：3.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、例題例1解小結(jié):解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(無窮小因子分出法)小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例5解先變形再求極限.例6解左右極限存在且相等,例7解思考題在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有

6、極限？為什么？思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤．三、兩個重要極限(1)例3解(2)類似地,例4解例5解第四節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小二、無窮小的比較與等價無窮小三、無窮大四、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小例如,注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).證二、無窮小的比較等價無窮小例如,由上面結(jié)果可看出，同時無窮小,但是趨向于零的“快慢”程度卻有不同.不可比.定義:例如，例1解證必要性充分性例2因為常用等價無窮小:例3解定理２(等價無窮小代換定理)證例4解

7、例5解注意：只有極限式中的因子才可再求極限時作等價無窮小代換．三、無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.不是無窮大．無界，證四、無窮小與無窮大的關(guān)系定理2在自變量的同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證意義關(guān)于無窮大的討論,都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮小的討論.第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型三、初等函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性例1證由定義2知定理在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或

8、者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,例2證例3解右連續(xù)但不左連續(xù),二、函數(shù)