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《高數(shù) 第二章 極限與連續(xù)課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、數(shù)列極限一、數(shù)列的概念1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒詹シ耪呅蔚拿娣e正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”3.數(shù)列的定義例如注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)播放觀察數(shù)列二、數(shù)列極限的定義問題:當(dāng)無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:對(duì)極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的憑觀察能判定數(shù)列的極限是多少嗎問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.這就是“當(dāng)n無限增大時(shí)，xn無
2、限地接近于1”的實(shí)質(zhì)和精確的數(shù)學(xué)描述。如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注①定義1習(xí)慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個(gè)動(dòng)態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫了極限的實(shí)質(zhì)，用
3、xn－a
4、＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。這個(gè)定義有三個(gè)要素：10，正數(shù)ε，20，正數(shù)N，30，不等式
5、xn－a
6、＜ε（n＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對(duì)固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn逼近a時(shí)要經(jīng)歷一個(gè)無限的過程（這個(gè)無限過程通過ε的任意性來實(shí)現(xiàn)），但這個(gè)無限過程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個(gè)有限的變化通過ε
7、的相對(duì)固定性來實(shí)現(xiàn)）。③定義中的N是一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)，與給定的ε有關(guān)。重要的是它的存在性，它是在ε相對(duì)固定后才能確定的，且由
8、xn－a
9、＜ε來選定，一般說來，ε越小，N越大，但須注意，對(duì)于一個(gè)固定的ε，合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗(yàn)證xn以a為極限時(shí)，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的ε，求出一個(gè)相應(yīng)的N，使當(dāng)n＞N時(shí)，不等式
10、xn－a
11、＜ε成立。④定義中的不等式
12、xn－a
13、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而對(duì)則不要求它們一定成立三、數(shù)列極限的幾何意義使得N項(xiàng)以后的所有項(xiàng)都落在a點(diǎn)的ε鄰域因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)點(diǎn)這就表明數(shù)列xn所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列除了前面有限個(gè)點(diǎn)
14、外都能凝聚在點(diǎn)a的任意小鄰域內(nèi)，同時(shí)也表明數(shù)列xn中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂”。注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證明因此則當(dāng)n＞N時(shí)，有利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，有時(shí)遇到的不等式
15、xn－a
16、＜ε不易考慮，往往采用把
17、xn－a
18、放大的方法。若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N放大的原則：①放大后的式子較簡(jiǎn)單②放大后的式子以0為極限例2證明因此則當(dāng)n＞N時(shí)，有四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推
19、論無界數(shù)列必定發(fā)散.2.唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.三、數(shù)列的極限
