高數(shù)教案第二章極限與連續(xù)

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1、第一章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限教學(xué)目的：理解數(shù)列極限的概念，掌握數(shù)列極限的定義教學(xué)重點、難點：數(shù)列極限的概念，理解掌握數(shù)列極限的定義教學(xué)形式：多媒體教室里的課堂講授教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課半徑為R的圓的面積公式？但是得到圓面積這個計算公式卻是不容易的.看電視http://v.youku.com/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html三國時代我國數(shù)學(xué)家劉徽（約公無225年—295年）創(chuàng)造了“割圓術(shù)”，成功地推算出圓周率和圓的面積。圓周率是對圓形和球體進行數(shù)學(xué)分析時不可缺少的一個常數(shù)，

2、各國古代科學(xué)家均將圓周率作為一個重要課題。我國最早采用的圓周率數(shù)值為三，即所謂“徑一周三”?！毒耪滤阈g(shù)》中就采用了這個數(shù)據(jù)。與劉徽類似的是，古希臘的阿基米德也用正多邊形法去求圓周率。但是阿基米德是用歸謬法證得這一結(jié)果的，避開了極限概念，而劉徽卻大膽地應(yīng)用了以直代曲、無限趨近的思想方法；且阿基米德的方法需另外計算圓外切正多邊形面積，劉徽的方法則只需求內(nèi)接正多邊形面積。與阿基米德比，劉徽的割圓術(shù)可謂事半功倍。二、新授課1、一個實驗說明的事實對于一個半徑為R的圓，先作圓內(nèi)接正六邊形，記其面積為；再作圓內(nèi)接正十二邊形，記其

3、面積為，循此下去，每次邊數(shù)成倍增加，得到一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積構(gòu)成一列有次序的數(shù),其中內(nèi)接正邊形的面積記為。練習(xí)題1。求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形ABC的面積；內(nèi)接正n邊形的面積。答案：練習(xí)題2。求半徑為R的圓外切正三角形ABC的面積；外切正n邊形的而積；答案：如果內(nèi)接正n邊表的面積為，圓的面積為A，外接正n邊形的面積為，則有161在幾何直觀上,當(dāng)n越大，對應(yīng)的內(nèi)接正多邊形就越接近于圓，,即圓與正多邊形的面積（）之差就越小,因此以（）作為圓面積的近似值就越精確.但無論內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)有多大,所計算的（）始終不是

4、圓的面積.于是設(shè)想,如果n無限增大(記為，讀作n趨于無窮大)時,（）無限接近某個確定的數(shù)。在數(shù)學(xué)上稱這個確定數(shù)是上面給出的一列有次序的數(shù)(即數(shù)列)，（）當(dāng)時的極限。在圓面積問題的討論中,大家看到,正是這個數(shù)列極限才精確地表達了圓面積的結(jié)果,也可以說,解決圓面積所采用的方法就是極限方法。2、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系按照一定順序排列著的一列數(shù)就叫做數(shù)列，記為{}，其中第n項做叫數(shù)列的一般項。數(shù)列的例子：它們的一般項依次為數(shù)列{}可以看作自變量為自然數(shù)n的函數(shù)它的定義域是全體正整數(shù)。3、數(shù)列的幾何意義從一維角度考察，數(shù)列{}可以

5、看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點然而，從二維角度考察，數(shù)列{}可以看作XOY面上的點集{（n，）}，在XOY平面上數(shù)列{}表現(xiàn)為一個散點圖。1614、數(shù)列的散點圖在XOY平面上畫出如下數(shù)列的散點圖：（1）；（2）（3）（4）{}（5）（6）{sinn}輸出圖形如（圖2—1）至圖（2—6）所示。（圖2—1數(shù)列）（圖2—2）數(shù)列（圖2—3數(shù)列）（圖2—4）數(shù)列{}（圖2—5）數(shù)列的圖形（圖2—6）數(shù)列{}由（圖2—1）至圖（2—6）可以看出，隨著n的增大，越來越趨向于1；161越來越大；越來越趨向于0；－１與１

6、之間變動；　越來越趨向于１；sinn在－１與１之間變動．5、數(shù)列極限的直觀定義對于數(shù)列{}，如果當(dāng)ｎ無限增大時，數(shù)列的一般項無限地接近于某一確定的常數(shù)ａ，則稱常數(shù)ａ是數(shù)列{}的極限，或稱數(shù)列{}收斂于ａ，記為如果數(shù)列沒有極限，稱數(shù)列是發(fā)散的，例如，　　?。剑薄?，　＝０　，　?。剑倍?，{}，{sinn}　是發(fā)散的．三、本節(jié)小結(jié)：數(shù)列與數(shù)列極限的概念四、課外作業(yè)：P21習(xí)題2—11。選擇題（1），（2）161第一章極限與連續(xù)第二節(jié)數(shù)列的極限教學(xué)目的：掌握數(shù)列極限的定義，會用定義證明數(shù)列的極限，了解收斂數(shù)列的性質(zhì)。教學(xué)重

7、點、難點：用定義證明數(shù)列的極限教學(xué)形式：講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課數(shù)列的極限描述性定義與幾何表現(xiàn)例如：數(shù)列是有極限的，它的圖象如下：ListPlot[Table[（n+{n，1，50}]]圖2-5對于數(shù)列{}，如果當(dāng)ｎ無限增大時，數(shù)列的一般項無限地接近于某一確定的常數(shù)ａ，則稱常數(shù)ａ是數(shù)列{}的極限，或稱數(shù)列{}收斂于ａ，記為如果數(shù)列沒有極限，稱數(shù)列是發(fā)散的。二、新授課1、數(shù)列極限的精確定義設(shè)有數(shù)列{}及常數(shù)a，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在一個正整數(shù)N，當(dāng)時，不等式恒成立，則稱常數(shù)a為數(shù)列{}的極

8、限，或稱數(shù)列{}收斂于a，記作或，如果這樣的常數(shù)a不存在，就說數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)列發(fā)散。在直角平面坐標(biāo)系OXY的Y軸上取以為a為中心，為半徑的一個開區(qū)間161，稱它為a的鄰域，記為O（a，）：O（a，）={}“當(dāng)時，不等式成立”表示數(shù)列中從N+1項起的所有項都落花流水在點a的鄰域，即。由于具有任意性，也就是說鄰域O（a，）的長度中（如圖2-5）上下兩條橫線