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《34-6 勞斯穩(wěn)定判據(jù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§3控制系統(tǒng)的時域分析§3.7控制系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差§3.1典型的試驗信號§3.2一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)§3.3二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)§3.4高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)§3.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)課程回顧§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)于是便提出這樣一個問題，能否不用直接求特征根的方法，而根據(jù)特征方程式(即高次代數(shù)方程)根與系數(shù)的關(guān)系去判別系統(tǒng)的特征根是否全部具有負實部的間接方法來分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的條件是其特征根均需具有負實部。因此判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否，就變成求解特征方程的根并校驗其特征根是否都具有負實部的問題。但是當(dāng)系統(tǒng)階次高于3
2、時，在一般情況下，求解其特征方程將會遇到較大的困難。因此，通過直接求解特征方程，并按求得的特征根分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法是極不方便的。勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是這樣一種勿須求解特征方程，而通過特征方程的系數(shù)分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法。設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為將上式中的各項系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表勞斯表第一列元素均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實部根的個數(shù)(1)勞斯（Routh）判據(jù)1）如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根在s平面的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。用同樣的方法，求取表中其余行
3、的系數(shù)，一直到第n+1行排完為止。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變換，去判別特征方程式的根在s平面上的具體分布，其結(jié)論是：2）如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在s平面的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?！?.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)例1：已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有兩個根在s的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。試用勞斯判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0s4s3s
4、2s1s0解：列勞斯表171052勞斯表第一列元素變號2次，有2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1010(2)勞斯判據(jù)特殊情況處理s3s2s1s0解：列勞斯表1-3e2勞斯表第一列元素變號2次，有2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。0例3：D(s)=s3-3s+2=0，判定在右半s平面的極點數(shù)。若某行第一列元素為0，而該行元素不全為0時:將此0改為，繼續(xù)運算。2例4：(2)勞斯判據(jù)特殊情況處理解：列勞斯表勞斯表的某一行中，所有元都等于零如果在勞斯表的某一行中，所有元都等于0，則表明方程有一些大小相等且對稱于原點的根。在這種情況下，可利用全0行的上一行各元構(gòu)造一
5、個輔助多項式（稱為輔助方程）。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表的這個全0行，然后繼續(xù)計算下去。這些大小相等而關(guān)于原點對稱的根也可以通過求解這個輔助方程得出。(2)勞斯判據(jù)特殊情況處理解：列勞斯表1123532025s5s4s3s2s1s05250010250列輔助方程：例5：D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0出現(xiàn)全零行時，系統(tǒng)可能出現(xiàn)一對純虛根；或一對符號相反的實根；或?qū)嵅颗c虛部分別等值且反號的的共軛復(fù)根。出現(xiàn)全零行時：用上一行元素組成輔助方程，將其對S求導(dǎo)一次，用新方程的系數(shù)代替全零行系數(shù)，之后繼續(xù)運算。
6、解：列勞斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00-216/e08-20列輔助方程：例6：D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一列元素變號一次，有一個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)應(yīng)用Routh判據(jù)分別研究一階、二階和三階微分方程容易得到以下的簡單結(jié)論：（1）一階和二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正。（2）三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正，且勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變化判別特征方程式的根在s平面上的具體分布，其結(jié)論是：2）如果勞斯表中
7、第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在s平面的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1）如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根在s平面的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)例7:-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)例8:設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大
8、于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦!!!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定求解輔助方程得:s1,2=±j由綜合除法可得另兩個根為s3,4=-2,-3①有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的絕對穩(wěn)
