勞斯判據(jù)判定穩(wěn)定性.doc

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1、勞斯判據(jù)即Routh-Hurwitz判據(jù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件判據(jù)是判別系統(tǒng)特征根分布的一個代數(shù)判據(jù)。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實部，就必須滿足以下兩個條件：1）特征方程的各項系數(shù)都不等于零。2）特征方程的各項系數(shù)的符號都相同。此即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。按習(xí)慣，一般取最高階次項的系數(shù)為正，上述兩個條件可以歸結(jié)為一個必要條件，即系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)全大于零，且不能為零。二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。運用判據(jù)還可以判定一個不穩(wěn)定系統(tǒng)所包含的具有正實部的特征根

2、的個數(shù)為表第一列元素中符號改變的次數(shù)。運用判據(jù)的關(guān)鍵在于建立表。建立表的方法請參閱相關(guān)的例題或教材。運用判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要知道系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)或系統(tǒng)的特征方程。在應(yīng)用判據(jù)還應(yīng)注意以下兩種特殊的情況：1．如果在表中任意一行的第一個元素為0，而其后各元不全為0，則在計算下一行的第一個元時，該元將趨于無窮大。于是表的計算無法繼續(xù)。為了克服這一困難，可以用一個很小的正數(shù)代替第一列等于0的元素，然后計算表的其余各元。若上下各元符號不變，切第一列元素符號均為正，則系統(tǒng)特征根中存在共軛的虛根。此時，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。2．

3、如果在表中任意一行的所有元素均為0，表的計算無法繼續(xù)。此時，可以利用該行的上一行的元構(gòu)成一個輔助多項式，并用多項式方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成表的下一行。這樣，表中的其余各元就可以計算下去。出現(xiàn)上述情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個符號相反的實根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對共軛復(fù)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對共軛的純虛根（即系統(tǒng)自由響應(yīng)會維持某一頻率的等幅振蕩，此時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根的組合等。這些特殊的使系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定的特征根可以通過求解輔助多項式方程得到。三、相對

4、穩(wěn)定性的檢驗對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，運用判據(jù)還可以檢驗系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，采用以下方法：1）將s平面的虛軸向左移動某個數(shù)值，即令s=z-（（（為正實數(shù)），代入系統(tǒng)特征方程，則得到關(guān)于z的特征方程。2）利用判據(jù)對新的特征方程進(jìn)行穩(wěn)定性判別。如新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方程所有的根均在新虛軸之左邊，（越大，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好。