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1、第三節(jié)勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，也是對系統(tǒng)最基本的要求?？刂葡到y(tǒng)在實際運(yùn)行中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負(fù)載或能源的波動、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動時，系統(tǒng)中各物理量就會偏離其平衡工作點，并隨時間推移而發(fā)散，即使擾動消失了，也不可能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是控制理論的基本任務(wù)之一。常用的穩(wěn)定性分析方法有：1.勞斯－赫爾維茨（Routh－Hurwitz）判據(jù)：這是一種代數(shù)判據(jù)。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平
2、面的位置，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.2.根軌跡法：這是一種利用圖解來系統(tǒng)特征根的方法。它是以系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)為變量化出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在S平面的軌跡，從而全面了解閉環(huán)系統(tǒng)特征根隨該參數(shù)的變化情況。3.奈魁斯特（Nyquist）判據(jù)：這是一種在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上建立起來的方法。它根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣避免了求解閉環(huán)系統(tǒng)特征根的困難。這一方法在工程上是得到了比較廣泛的應(yīng)用。4.李雅普諾夫方法上述幾種方法主要適用于線性系統(tǒng)，而李雅普諾夫方法不僅適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。該方法是根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的特征來
3、決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性的概念可以通過圖3-31所示的方法加以說明。考慮置于水平面上的圓錐體，其底部朝下時，我們施加一個很小的外力（擾動），圓錐體會稍微產(chǎn)生傾斜，外作用力撤消后，經(jīng)過若干次擺動，它仍會返回到原來的狀態(tài)。而當(dāng)圓錐體尖部朝下放置時，由于只有一點能使圓錐體保持平衡，所以在受到任何極微小的外力（擾動）后，它就會傾倒，如果沒有外力作用，就再也不能回到原來的狀態(tài)。(a)穩(wěn)定的(b)不穩(wěn)定的圖3-31圓錐體的穩(wěn)定性因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為，系統(tǒng)在受到外作用力后，偏離了最初的工作點，而當(dāng)外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來
4、的工作點，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，在單位理想脈沖作用下，這時系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為c(t)。若t?∞時，脈沖響應(yīng)這時，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)的特征方程D(s)=0的根為si，由于單位脈沖傳遞函數(shù)的拉氏變換為1，系統(tǒng)輸出的拉式變換為：瞬態(tài)響應(yīng)項表現(xiàn)為衰減、臨界和發(fā)散三種情況之一，它是決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。由于輸入量只影響到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并且兩者具有相同的特性，即如果輸入量r(t)是有界的：
5、r(t)
6、<∞，t≥0則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也必定是有界的。則系統(tǒng)穩(wěn)定性可以歸結(jié)為，系統(tǒng)在任何一個有界輸入的作用下，其輸出是否有界的問題。一個穩(wěn)定的系統(tǒng)定
7、義為，在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。這叫做有界輸入有界輸出穩(wěn)定，又簡稱為BIBO穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點在S平面內(nèi)的位置來確定。設(shè)單輸入單輸出線性系統(tǒng)的微分方程為，即(3.58)則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由上式左端決定，或者說系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式(3.59)來分析。這時，在任何初始條件下，若滿足(3.60)則稱系統(tǒng)(3.58)是穩(wěn)定的。為了決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可求出式(3.59)的解。由數(shù)學(xué)分析知道，式(3.59)的特征方程式為(3.61)設(shè)上式有k個實根-pi（i=1，2，…，k），r對共軛復(fù)數(shù)根(-σj±jwj)(
8、j=1，2，…，r)，k+2r=n，則齊次方程式(3.59)解的一般式為(3.62)式中系數(shù)Aj，Bj和Cj由初始條件決定。從式(3.62)可知：(1)若-pi<0，-sj<0（即極點都具有負(fù)實部），則式(3.60)成立，系統(tǒng)最終能恢復(fù)至平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(3)若-pi或-sj中有一個或一個以上是正數(shù)，則式(3.60)不滿足。當(dāng)t→∞時，c(t)將發(fā)散，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(4)只要-pi中有一個為零，或-sj中有一個為零（即有一對虛根），則式(3.60)不滿足。當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)輸出或者為一常值，或者為等幅振蕩，不能恢復(fù)原平衡狀
9、態(tài)，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)?？偨Y(jié)上述，可以得出如下結(jié)論：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根均為負(fù)實數(shù)，或具有負(fù)的實數(shù)部分。或它的所有特征根，均在S平面面的左半部分（見圖3-32）。圖3-32根平面表3.4列舉了幾個簡單系統(tǒng)穩(wěn)定性的例子。需要指出的是，對于線性定常系統(tǒng)，由于系統(tǒng)特征方程根是由特征方程的結(jié)構(gòu)（即方程的階數(shù)）和系數(shù)決定的，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號和初始條件無關(guān)，僅由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定。如果系統(tǒng)中每個部分都可用線性定常微分方程描述，那么，當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定時，它在大偏差情況下也是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)中有的元件或裝置是非線性
10、的，但經(jīng)線性化處理后可用線性化方程來描述，則當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，我們只能說這個系統(tǒng)在小偏差情況下是穩(wěn)定的，而在大偏差時不能保證系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的根。但求解高階特
