演繹推理能力的培養(yǎng)

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1、數(shù)學(xué)教學(xué)中演繹推理能力的培養(yǎng)北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系黃登航演繹推理是由已知概念、定理推出新的定理的思維方式，是進行數(shù)學(xué)證明的有力工具，對數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展有重要的作用，因此演繹推理能力是數(shù)學(xué)能力的一個重要方面．不少學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)最怕證明題，拿了題不知如何入手，證錯了還不知道錯在那里，等等，原因是多方面的，但演繹能力差是一個重要方面．因此通過教學(xué)如何注意培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力，提高判斷論證中對錯能力，是很值得探討的一個題目，本文對此談些看法，并舉例加以說明．1演繹推理與三段論法演繹推理是以一般命題引出特殊命題的推理方法，因此前提與結(jié)論有必然的聯(lián)系，是必然性推理，三段論法是數(shù)學(xué)中演繹推理的基本形式．三段論法

2、由大前提、小前提、結(jié)論構(gòu)成，大前提是一般性原理，小前提是適合大前提的特殊情況，結(jié)論是大前提與小前提之間的邏輯結(jié)果，可如下表示三段論法．論證中習(xí)慣用的三段論法結(jié)構(gòu)形式是：例1如圖，直線PQ與MN被直線EF所截交于G與H點，若∠PGE+∠FHM=180°（C）則PQ∥MN（B）讓學(xué)生弄清楚三段論法是什么？證明題要干什么？這是我們討論的問題首先要解決的．2三段論法的變形與逆否命題方便，于是常用三段論法的以下變形：與并且號“∧”連接而成，故三段論法中以下常見的結(jié)構(gòu)形式是有用的．這點一定要搞清，否則容易犯錯誤．現(xiàn)對這部分內(nèi)容舉一些例子加以說明：例2如右圖PQNM是四邊形，O是對角線PN與MQ的交點，

3、已知：∠PMN=∠PQN（C1）PO=ON（C2）證明：PQMN是平行四邊形．（B）或者PO≠ON．即MO≠OQ．不妨設(shè)OQ＞MO，于是可在OQ上取點Q1且Q1≠Q(mào)，且使OQ1=MO，連接PQ1，NQ1，令A(yù)2：PQ1MN是平行四邊形，于是例2的逆否命題還可以有以下形式：PMN=∠PQN，則PO≠ON則∠PMN≠∠PQN．例3設(shè)f（x），g（x），h（x）為實系數(shù)多項式，滿足f2（x）=xg2（x）＋xh2（x）（條件C），則f（x）=0（B1），g（x）=0（B2），h（x）＝0（B3）（即結(jié)論B=B1∧B2∧B3）．f2（x）是偶次多項式．而xg2（x），xh2（x）是奇次多項式，因而

4、xg2（x）+xh2（x）是奇次多項式，于是f2（x）≠xg2（x）+xh2（x）．即C．證畢．f（x），g（x），h（x）不全為0，而不是全不為0．問題之二：推理不嚴(yán)格，為什么xg2（x），xh2（x）是奇次多項式時xg2（x）+xh2（x）是奇次多項式？這并不顯然，證明這點需用實系數(shù)多項式的條件，對復(fù)系數(shù)多項式結(jié)論就不對了，例如今g（x）＝x，h（x）＝ix，都是一次多項式．但xg2（x）+xh2（x）=x3-x3=0就不是奇次多項式．（1）若f（x）≠0，則f2（x）是偶次多項式，故g（x），h（x）不全為零多項式，不妨設(shè)g（x）=b0+b1x+…+bmxm，bm≠0，h是奇次多項式

5、，于是f2（x）≠xg2（x）+xh2（x）．即C．（2）若f（x）=0，則g（x），h（x）不全為0，與（1）相同可證xg2（x）+xh2（x）是奇次多項式．于是0=f2（x）≠xg2（x）＋xh2（x），即C成立．3糾正運用三段論法中易犯的錯誤熟悉它們之間內(nèi)在聯(lián)系，這些橋梁才能搭得起來．在這個過程中易犯的推理錯誤有以下幾種：1．?dāng)U大或者偷換題設(shè)C．2．削弱題斷B．3．論據(jù)不正確．我們舉些例子加以說明：例4判斷下面兩命題是否正確？說明理由1）若r是方程x2＝2x的根，則r=2．有學(xué)生這樣判斷1）：正確，因為若r是方程x2=2x的根，則r2＝2r，由消去律知r＝2．這種判斷當(dāng)然是錯誤的，錯

6、在擴大了題設(shè)r≠0．才能由消去律得到r＝2．事實上方程x2＝2x還有一根r＝0，擴大題設(shè)導(dǎo)致了丟根．條件說成充分必要條件．例5x1，x2是復(fù)數(shù)且不全為零，λ是復(fù)數(shù)滿足：x2＝λx1，x1=λx2，則λ的模為1．≠0立知λ2=1，λ=±1，所以λ的模為1．這樣證犯了擴大假設(shè)錯誤，把x1，x2不全為零擴大成全不為0，從而x1·x2≠0．得到λ2=1．λ=±1．的，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)則是錯誤的，例如：取x1=1，x2=i，不全為零，但綜上所述，若能在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意讓學(xué)生弄清三段論法是什么？證明命題要干什么；明確三段論法常用結(jié)構(gòu)形式及與逆否命題關(guān)系；注意糾正推理過程中易犯錯誤．必然會對學(xué)生演繹推理能力

7、提高產(chǎn)生良好作用．演繹推理雖然不能從根本上為我們提供新的知識，因為結(jié)論已蘊涵在前提中了，但它把一般前提下蘊涵的性質(zhì)揭露出來，使這些性質(zhì)間的內(nèi)在聯(lián)系更清楚；它能把一般結(jié)果應(yīng)用到特殊中上；它能為歸納、類比…等得到的猜想加以證實成為定理…，演繹推理的作用是不能低估的．當(dāng)然數(shù)學(xué)能力是多方面的，如：分析能力、綜合能力、類比、歸納、抽象思維等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)都十分重要，且它們之間是相輔相成的．此文就不涉及了．