小波變換及分析原理知識

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1、小波分析原理1.1小波變換及小波函數(shù)的多樣性小波是函數(shù)空間中滿足下述條件的一個函數(shù)或者信號：式中，表示非零實數(shù)全體，是的傅里葉變換，成為小波母函數(shù)。對于實數(shù)對，參數(shù)為非零實數(shù)，函數(shù)稱為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)對的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱小波。其中：稱為伸縮因子；稱為平移因子。對信號的連續(xù)小波變換則定義為其逆變換（回復(fù)信號或重構(gòu)信號）為信號的離散小波變換定義為其逆變換（恢復(fù)信號或重構(gòu)信號）為其中，是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。顯然小波函數(shù)具有多樣性。在MATLAB小波工具箱中提供了多種小波幻術(shù)，包括Harr小波，Daubecheies（dbN）小波系，

2、Symlets（symN）小波系，ReverseBior（rbio）小波系，Meyer（meyer）小波，Dmeyer（dmey）小波，Morlet(morl)小波，ComplexGaussian(cgau)小波系，Complexmorlet(cmor)小波系，Lemarie（lem）小波系等。實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)支撐長度、對稱性、正則性等標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的小波函數(shù)。-37-1.2小波的多尺度分解與重構(gòu)1988年Mallat在構(gòu)造正交小波基時提出多尺度的概念，給出了離散正交二進小波變換的金字塔算法，其小波分析樹形結(jié)構(gòu)如圖1所示，即任何函數(shù)都可以根據(jù)分

3、辨率為的的低頻部分（近似部分）和分辨率為下的高頻部分（細節(jié)部分）完全重構(gòu)。多尺度分析時只對低頻部分作進一步分解，而高頻部分則不予考慮，分解具有關(guān)系：其中代表信號，代表低頻近似部分，代表高頻細節(jié)部分，代表分解層數(shù)。對信號采樣后，可得到在一個大的有限頻帶中的一個信號，對這個信號進行小波多尺度分解，其實質(zhì)就是把采到的信號分成兩個信號，即高頻部分和低頻部分，而低頻部分通常包含了信號的主要信息，高頻部分則與噪音及擾動聯(lián)系在一起。根據(jù)分析的需要，可以繼續(xù)對所得到的低頻部分進行分解，如此又得到了更低頻部分的信號和頻率相對較高部分的信號。信號分解的層數(shù)不是任

4、意的，對于長度為德信號最多恩給你分成層。實際應(yīng)用中，課根據(jù)實際需要選擇合適的分解層數(shù)。第9章小波變換基礎(chǔ)9.1小波變換的定義給定一個基本函數(shù)，令（9.1.1）式中均為常數(shù)，且。顯然，是基本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。若不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。給定平方可積的信號，即，則的小波變換（WaveletTransform，WT）定義為（9.1.2）-37-式中和均是連續(xù)變量，因此該式又稱為連續(xù)小波變換（CWT）。如無特別說明，式中及以后各式中的積分都是從到。信號的小波變換是和的函數(shù)，是時移，是尺度因子。又稱為基本小波，或母小波。是母小波經(jīng)移

5、位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。這樣，（9.1.2）式的又可解釋為信號和一族小波基的內(nèi)積。母小波可以是實函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。若是實信號，也是實的，則也是實的，反之，為復(fù)函數(shù)。在（9.1.1）式中，的作用是確定對分析的時間位置，也即時間中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸縮。我們在1.1節(jié)中已指出，由變成，當(dāng)時，若越大，則的時域支撐范圍（即時域?qū)挾龋┹^之變得越大，反之，當(dāng)時，越小，則的寬度越窄。這樣，和聯(lián)合越來確定了對分析的中心位置及分析的時間寬度，如圖9.1.1所示。圖9.1.1基本小波的伸縮及參數(shù)和對分析范圍

6、的控制-37-(a)基本小波，（b），,(c)不變，,(d)分析范圍這樣，（9.1.2）式的WT可理解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化正好適應(yīng)了我們對信號分析時在不同頻率范圍所需要不同的分辨率這一基本要求。（9.1.1）式中的因子是為了保證在不同的尺度時，始終能和母函數(shù)有著相同的能量，即令，則，這樣，上式的積分即等于。令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為：（9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表為：（9.1.4）此式即為小波變換的頻域表達式。9.2小

7、波變換的特點下面，我們從小波變換的恒Q性質(zhì)、時域及頻率分辨率以及和其它變換方法的對比來討論小波變換的特點，以幫助我們對小波變換有更深入的理解。比較（9.1.2）和（9.1.4）式對小波變換的兩個定義可以看出，如果在時域是有限支撐的，那么它和作內(nèi)積后將保證在時域也是有限支撐的，從而實現(xiàn)我們所希望的時域定位功能，也即使反映的是在附近的性質(zhì)。同樣，若-37-具有帶通性質(zhì)，即圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么和作內(nèi)積后也將反映在中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波，使其在時域和頻域都

8、是有限支撐的。有關(guān)小波的種類及小波設(shè)計的問題，我們將在后續(xù)章節(jié)中詳細討論。由1.3節(jié)可知，若的時間中心是，時寬是，的頻率中心是，帶寬是，那么的時間中心仍是，但時寬變