直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

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1、懷仁十一中高中部數(shù)學學案導學（四十七——1）直線與平面垂直的判定與性質(zhì)主備人郭志勇教學目標（1）使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；（2）使學生掌握判定直線和平面垂直的方法；（3）培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結(jié)論。教學重點、難點直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。直線和平面垂直直線和平面垂直的定義直線和平面垂直的性質(zhì)直線和平面垂直的判定與性質(zhì)定理的應用直線和平面垂直的判定學習關鍵自學指導１.直線和平面垂直的定義:符號表示：垂線：垂面：垂足：思考：在平面中，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直，那么在空間。(1)過一

2、點有幾條直線與已知平面垂直？答：(2)過一點有幾條平面與已知直線垂直？答：２．定理：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直３．點到平面的距離：４．直線與平面垂直的判定定理：符號表示５．直線和平面垂直的性質(zhì)定理：嘗試練習1.已知a⊥平面α,bα,則a與b的位置關系是()A.a//bB.a⊥bC.a與b垂直相交D.a與b垂直且異面2.下列命題中正確的是(其中a、b、c為不相重合的直線,α為平面)()①若b//a,c//a,則b//c②若b⊥a,c⊥a,則b//c③若a//α,b//α,則a//b④若a⊥α,b⊥α,則a//bA.①②③

3、④B.①④C.①D.④3.已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下列四個命題4懷仁十一中高中部數(shù)學學案導學（四十七——1）　(1)若α//β，則l⊥m　(2)若α⊥β，則l//m(3)若l//β，則α⊥β(4)若l⊥m，則α//β其中正確的兩個命題是()　　　　　　　　　　　　　　?。?1)和(2)B(3)和(4)C.(2)和(4)D(1)和(3)3.已知直線a//平面α,直線b⊥平面α,則a、b的位置關系______________.ABCDD1A1C1B14.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,則這個多面體面是直角三角形的為______

4、________.5.如圖,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,則BD1與AC的位置關系___________.BD1與B1C的位置關系___________.進而可得BD1與平面ACB1的關系___________.典例精講【例1】如右圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點,AC交BD于點O,求證:A1O⊥平面MBD.思路分析：欲證A1O⊥平面MBD,只需證A1O垂直于平面BDM內(nèi)的兩條相交直線BD和OM.欲證A1O⊥BD,只需證BD垂直于A1O所在的平面A1ACC1;欲證A1O⊥OM,則需證∠AOA1+∠MOC=90°.證明：連結(jié)MO.∵

5、BD⊥A1A,BD⊥AC,A1A∩AC=A,∴BD⊥平面A1ACC1.而A1O平面A1ACC1,∴A1O⊥BD.∵tanAA1O=,tanMOC=,∴∠AA1O=∠MOC.則∠AOA1+∠MOC=90°.∴A1O⊥OM.∵OM∩BD=O,∴A1O⊥平面MBD.溫馨提示1.證明線面垂直的方法：（1）定義法；（2）判定定理法--線線垂直線面垂直,注意在論證過程中時常“證中有解”.2.利用判定定理證明線面垂直的步驟：第一步：確定直線間的垂直關系.第二步：確定平面內(nèi)兩直線相交.第三步：根據(jù)判定定理得出結(jié)論.例2.已知：aα，a⊥b，b⊥α.求證：a∥α.思路分析：由于垂直關

6、系比較分散，可考慮將其集中到一個平面內(nèi)，應用平面幾何的知識將垂直轉(zhuǎn)化為平行.如圖，在a上任取一點A，過點A作直線b′∥b.設b′∩α=B，過直線a、b′作平面β∩α=a′.∵b⊥α，∴b⊥a′.又b⊥a，b′∥b，∴b′⊥a，b′⊥a′.又a、a′同在平面β內(nèi)，∴a∥a′.又aα，a′α,∴a∥α.知識概覽1.過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.2.過一點和已知直線垂直的平面有且只有一個.3.垂直于同一個平面的兩條直線平行.4.垂直于同一條直線的兩個平面平行.例3如圖，已知Rt△ABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點.（1）求證：SD⊥

7、平面ABC；（2）若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC.思路分析：由于D是AC的中點，SA=SC，則SD是△SAC的高，連結(jié)BD4懷仁十一中高中部數(shù)學學案導學（四十七——1），可證△SDB≌△SDA.則∠SDB=∠SDA=90°,∴SD⊥DB.利用線面垂直的判定定理即可得證.（1）SA=SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.連結(jié)BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，∴△SDB≌△SDA.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴SD⊥平面ABC.（2）∵AB=BC,D是AC的中點，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC,∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的