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《有趣的有趣的“五猴分桃”問題》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、有趣的“五猴分桃”問題2009-06-0214:45 據(jù)說以下的“五猴分桃”問題最先是由大物理學家狄拉克提出來的,這一貌似簡單的問題曾困擾住了他,經(jīng)過努力,他只是獲得了相當繁瑣的求解方法。為了獲得簡便的方法,他把問題提供給當時的一些數(shù)學家,有意思的是竟然也沒有得到滿意的結(jié)果。在后來者的不斷努力下,比較簡捷的方法才逐步涌現(xiàn)。李政道和楊振寧曾榮獲諾貝爾物理學獎,正是由李政道提議成立了中科大少年班,他在中科大少年班的開班儀式上對“五猴分桃”問題進行適當演繹,提供給了少年班同學?! 拔搴锓痔摇眴栴}???話說花果山水簾洞有5只聰明的猴子,有一天它們得到
2、了一堆桃子,他們發(fā)現(xiàn)那堆桃子不能被均勻分5份,于是猴子們決定先去睡覺,明天再討論如何分配。夜深人靜的時候,猴子A偷偷起來,吃掉了一個桃子后,它發(fā)現(xiàn)余下的桃子正好可以平均分成5份,于是它拿走了一份;接著猴子B也起來先偷吃了一個,結(jié)果它也發(fā)現(xiàn)余下的桃子恰好可以被平均分成5份,于是它也拿走了一份;后面的猴子C、D、E一次如法炮制,先偷吃一個,然后將余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份,問:這一堆桃子至少有幾個? 以下我們嘗試給出該問題的解,我們將發(fā)現(xiàn),用我們所學的數(shù)列的遞推關(guān)系公式可以很好地解決該問題。已經(jīng)解答過類似的題目比如這一題1。有五個小朋
3、友甲、乙、丙、丁、戊按如下方法分一堆彈珠:甲先拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,接著乙也拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,后來是丙拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,又后來是丁拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,最后是戊拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5。問:最初至少要有多少顆彈珠?有一個很簡單的方法:先借他們4個彈珠,那么甲將彈珠恰分作五份拿走一堆(其實這一堆也就是先前他拿的一堆加一個),剩下那四堆各取出一個給乙來分彈珠,將四個彈珠又放進去,因為原本多一個彈珠,就可以平分成……答案就是5*5*5*5*5-4=3121其實這個是最小值實際上5
4、*5*5*5*5*X-4得到的每個數(shù)值都可以X取自然數(shù)二.顯然,如果不考慮正負,-4為一解??紤]到要5個人分,假設(shè)分n次。則題目的解:5^n-4本題為5^5-4=31213121個,最后還剩1020個驗證:3121-1=3120;3120×4/5=24962496-1=2495;2495×4/5=19961996-1=1995;1995×4/5=15961596-1=1595;1595×4/5=12761276-1=1275;1275×4/5=1020樓上的方法很巧妙,不過,得出答案5*5*5*5*5-4=3121,有點太突然了,最好把中間步驟補
5、上:設(shè)原來珠子總數(shù)為N,借來4個后,為N+4個。經(jīng)過第一步后,剩下4(N+4)/5經(jīng)過第二步后,剩下4^2(N+4)/5^2經(jīng)過第三步后,剩下4^3(N+4)/5^3經(jīng)過第四步后,剩下4^4(N+4)/5^4經(jīng)過第五步后,剩下4^5(N+4)/5^5顯然,4^5(N+4)/5^5為整數(shù),因為4^5和5^5互質(zhì),則:(N+4)肯定能被5^5整除。所以,N=5^5×K-4,(K=1,2,3,......)當K=1時,N為最小值,結(jié)果為5^5-4=3121實際上只需要往桃堆添四個桃,就會發(fā)現(xiàn),實際上每次猴子都是拿走桃堆的五分之一(包括它吃掉的),然后就
6、是一個公比為5/4的等比數(shù)列。桃子必然是整數(shù),分5次每次都要能整除4,所以最后的桃子數(shù)必須要能整除1024,當然這是添了4個桃子的結(jié)果。拿走以后剩的桃子最少是1020個,這種情況下,一開始的桃子是3121個。