有趣的有趣的“五猴分桃”問(wèn)題

有趣的有趣的“五猴分桃”問(wèn)題

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1、有趣的“五猴分桃”問(wèn)題2009-06-0214:45  據(jù)說(shuō)以下的“五猴分桃”問(wèn)題最先是由大物理學(xué)家狄拉克提出來(lái)的,這一貌似簡(jiǎn)單的問(wèn)題曾困擾住了他,經(jīng)過(guò)努力,他只是獲得了相當(dāng)繁瑣的求解方法。為了獲得簡(jiǎn)便的方法,他把問(wèn)題提供給當(dāng)時(shí)的一些數(shù)學(xué)家,有意思的是竟然也沒(méi)有得到滿意的結(jié)果。在后來(lái)者的不斷努力下,比較簡(jiǎn)捷的方法才逐步涌現(xiàn)。李政道和楊振寧曾榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),正是由李政道提議成立了中科大少年班,他在中科大少年班的開(kāi)班儀式上對(duì)“五猴分桃”問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)演繹,提供給了少年班同學(xué)?!  拔搴锓痔摇眴?wèn)題???話說(shuō)花果山水簾洞有5只聰明的猴子,有一天它們得到了一堆桃子,他們發(fā)現(xiàn)那堆桃子不能被

2、均勻分5份,于是猴子們決定先去睡覺(jué),明天再討論如何分配。夜深人靜的時(shí)候,猴子A偷偷起來(lái),吃掉了一個(gè)桃子后,它發(fā)現(xiàn)余下的桃子正好可以平均分成5份,于是它拿走了一份;接著猴子B也起來(lái)先偷吃了一個(gè),結(jié)果它也發(fā)現(xiàn)余下的桃子恰好可以被平均分成5份,于是它也拿走了一份;后面的猴子C、D、E一次如法炮制,先偷吃一個(gè),然后將余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份,問(wèn):這一堆桃子至少有幾個(gè)?  以下我們嘗試給出該問(wèn)題的解,我們將發(fā)現(xiàn),用我們所學(xué)的數(shù)列的遞推關(guān)系公式可以很好地解決該問(wèn)題。已經(jīng)解答過(guò)類似的題目比如這一題1。有五個(gè)小朋友甲、乙、丙、丁、戊按如下方法分一堆彈珠:甲先拿去一顆彈珠,和剩下彈

3、珠數(shù)的1/5,接著乙也拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,后來(lái)是丙拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,又后來(lái)是丁拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5,最后是戊拿去一顆彈珠,和剩下彈珠數(shù)的1/5。問(wèn):最初至少要有多少顆彈珠?有一個(gè)很簡(jiǎn)單的方法:先借他們4個(gè)彈珠,那么甲將彈珠恰分作五份拿走一堆(其實(shí)這一堆也就是先前他拿的一堆加一個(gè)),剩下那四堆各取出一個(gè)給乙來(lái)分彈珠,將四個(gè)彈珠又放進(jìn)去,因?yàn)樵径嘁粋€(gè)彈珠,就可以平分成……答案就是5*5*5*5*5-4=3121其實(shí)這個(gè)是最小值實(shí)際上5*5*5*5*5*X-4得到的每個(gè)數(shù)值都可以X取自然數(shù)二.顯然,如果不考慮正負(fù),-4為一解??紤]到要5

4、個(gè)人分,假設(shè)分n次。則題目的解:5^n-4本題為5^5-4=31213121個(gè),最后還剩1020個(gè)驗(yàn)證:3121-1=3120;3120×4/5=24962496-1=2495;2495×4/5=19961996-1=1995;1995×4/5=15961596-1=1595;1595×4/5=12761276-1=1275;1275×4/5=1020樓上的方法很巧妙,不過(guò),得出答案5*5*5*5*5-4=3121,有點(diǎn)太突然了,最好把中間步驟補(bǔ)上:設(shè)原來(lái)珠子總數(shù)為N,借來(lái)4個(gè)后,為N+4個(gè)。經(jīng)過(guò)第一步后,剩下4(N+4)/5經(jīng)過(guò)第二步后,剩下4^2(N+4)/5^2經(jīng)過(guò)第三步后

5、,剩下4^3(N+4)/5^3經(jīng)過(guò)第四步后,剩下4^4(N+4)/5^4經(jīng)過(guò)第五步后,剩下4^5(N+4)/5^5顯然,4^5(N+4)/5^5為整數(shù),因?yàn)?^5和5^5互質(zhì),則:(N+4)肯定能被5^5整除。所以,N=5^5×K-4,(K=1,2,3,......)當(dāng)K=1時(shí),N為最小值,結(jié)果為5^5-4=3121實(shí)際上只需要往桃堆添四個(gè)桃,就會(huì)發(fā)現(xiàn),實(shí)際上每次猴子都是拿走桃堆的五分之一(包括它吃掉的),然后就是一個(gè)公比為5/4的等比數(shù)列。桃子必然是整數(shù),分5次每次都要能整除4,所以最后的桃子數(shù)必須要能整除1024,當(dāng)然這是添了4個(gè)桃子的結(jié)果。拿走以后剩的桃子最少是1020個(gè),

6、這種情況下,一開(kāi)始的桃子是3121個(gè)。

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