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《總結(jié)求矩陣的逆矩陣方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、華北水利水電學(xué)院總結(jié)求矩陣的逆矩陣方法課程名稱：線性代數(shù)專業(yè)班級(jí)：成員組成：聯(lián)系方式：淺析求矩陣的逆矩陣方法摘要：矩陣?yán)碚撛凇毒€性代數(shù)》課程中有著重要的地位,矩陣和數(shù)相仿可以運(yùn)算,特別是乘法和數(shù)一樣有逆運(yùn)算,其定義為:對(duì)于n階方陣A,如果存在n個(gè)階段B使得AB=BA=E,則n個(gè)階方陣A為可逆的,B為A的逆矩陣。下面對(duì)求逆矩陣方法進(jìn)行全面論述,并做一步探討。關(guān)鍵字矩陣逆矩陣可逆1矩陣求逆常見(jiàn)的幾種方法1.1用伴隨矩陣法求逆矩定理1.1.1：階矩陣可逆的充要條件，而且當(dāng)階矩陣有逆矩陣，，其中伴隨矩陣。例1矩陣是否可逆？若可逆
2、，求解：可逆又，，，，，，，，∴例2設(shè)，是的伴隨矩陣，求解：，又，所以且有規(guī)律可循。對(duì)于三階以上方陣用該方法逆矩陣,不僅計(jì)算量大且易出錯(cuò),一般不用此種方法。對(duì)求出逆矩陣正確與否,一般用來(lái)檢驗(yàn)是否正確。1.2用初等變換法求逆矩陣定理1.2.1如果階方陣可逆，則存在有限個(gè)初等矩陣，使得。如果可逆，則也可逆，由上述定理，存在初等矩陣使得那么即于是我們得到一個(gè)求逆矩陣的方法如下：如果階方陣可逆，作一個(gè)的矩陣，然后對(duì)此矩陣施以初等行換，使化為單位矩陣同時(shí)化為，即：例1 用初等行變換求矩陣的逆矩陣解：故同理，如果階矩陣可逆，作一個(gè)的
3、矩陣，然后此矩陣施以初等變換，使矩陣化為單位陣，則同時(shí)化為，即。例2用初等列變換求矩陣的逆矩陣1.3用定義法求逆矩陣定義：設(shè)為階方陣，如果存在階方陣，使得，則稱為可逆矩陣，而稱為的逆矩陣。例4設(shè)階矩陣滿足方程證明可逆，并求它的逆矩陣。證：由于，得，即或，由定義可知，2特殊的求逆矩陣的方法2.1 由等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形求可逆矩陣法定理2.1.1：設(shè)是階可逆矩陣，的秩等于，存在可逆矩陣與，使，，故。 證明：首先構(gòu)造矩陣然后對(duì)進(jìn)行行如下形式的初等變換：（1）對(duì)的前幾行進(jìn)行初等的行變換（2）對(duì)的前幾列進(jìn)行初等的列變換 則經(jīng)過(guò)有限次上述變換
4、后，可以變?yōu)椤 ∮纱说么朔N方法在一般教材中很少提到，一般教材只介紹前三種方法，但若同時(shí)采用行和列的初等變換，把已知可逆矩陣置于含單位矩陣的分塊矩陣中，以此求逆矩陣，有時(shí)比較簡(jiǎn)單。它是從等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型的角度給出了可逆矩陣的一種求法，是教學(xué)上一種新的嘗試。例1：求可逆矩陣的逆矩陣解：構(gòu)造矩陣2.2運(yùn)用Hamilton-Caley定理求逆矩陣由Hamilton-Caley定理：設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，為的特征多行式，則設(shè)的特征多行式若可逆，則由Hamilton-Caley定理得，，所以即。例1 設(shè)，求解：的特征多行式，由Hamilto
5、n-Caley定理知因?yàn)槔?設(shè)，試求解：的特征多行式為用除以得據(jù)Hamilton-Caley定理知，得2.3由分塊矩陣求逆矩陣法定理2.3.1設(shè)，，，分別是，，矩陣，若，均可逆，則證明：由兩邊求逆得即同理可求出，，的逆矩陣。故對(duì)大型且可分劃為以上的分塊矩陣，可用此法求逆矩陣。例1求矩陣的逆矩陣解：，，，，故2.4用解方程組的方法求逆矩陣根據(jù)可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣逆矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元的倒數(shù)，可設(shè)出逆矩陣的待求元素的方程，因而待求元素極易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩陣的逆矩陣。例1求得逆矩陣解
6、：設(shè)，先求中主對(duì)角線下的次對(duì)角線上的元素，，，再求，最后求。設(shè)為4階單位矩陣，比較的兩端對(duì)應(yīng)元素，得到；解得，；；解得，；;解得，；；解得，；；解得，；；解得，。于是，所求的逆矩陣為：2.5三角矩陣的一種求逆法定理2.5.1：如果階矩陣，可逆，那么它的逆矩陣是其中利用此定理可以求出其它各種類型三角矩陣的逆矩陣。例1：求上三角矩陣的逆矩陣解：根據(jù)上定理可求得因此，如果是下三角矩陣，則為上三角矩陣。根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)：，再根據(jù)上定理可求三角矩陣的逆矩陣。例22.6用恒等變形法求逆矩陣有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無(wú)關(guān)，但實(shí)質(zhì)上只
7、有通過(guò)求逆矩陣才能算出來(lái)，而求逆矩陣須對(duì)所給的矩陣等式恒等變形，而且變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式。例1已知試求并證明，其中解：由得到故，而又為正交矩陣，（其中為的轉(zhuǎn)置矩陣）從而2.6同時(shí)用行列變換求矩陣逆的方法定理2.7.1如果用有限次行、列初等變換可將矩陣化成單位矩陣，且設(shè)用其中的行初等變換將單位矩陣正化為，用其中的列初等變換將單位矩陣正化為，那么證明：設(shè)是一個(gè)級(jí)可逆矩陣則其中，都是級(jí)初等矩陣。由此即得是級(jí)單位矩陣，又寫成那么比較式和式，并記，即得。具體求法用分塊矩陣表示就是：若，則。當(dāng)或時(shí)，即第二種方法，因此
8、這種求逆矩陣的方法是第二種方法式。例1：設(shè)，求。解：由以上定理我們構(gòu)造矩陣于是，，由定理所示的方法可知，它包括了平常的單使用行初等變換或列初等變換求逆矩陣的方法，只是最后還得作矩陣的乘法運(yùn)算，為要避免矩陣的乘法，進(jìn)一步我有：設(shè)，則，于是這個(gè)結(jié)論也就是：，即得注意到是一個(gè)級(jí)矩陣，因此施行第三種行初等變換，把矩陣化成零矩
