矩陣逆的判定及求逆矩陣方法

《矩陣逆的判定及求逆矩陣方法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在學術論文-天天文庫。

1、陜西理工學院畢業(yè)論文???題目矩陣逆的判定及求逆矩陣方法學生姓名學號所在學院數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)班級數(shù)學與應用數(shù)學(數(shù)教1102)指導教師完成地點陜西理工學院2015年06月12日第2頁共17頁第1頁共15頁陜西理工學院畢業(yè)論文矩陣逆的判定及求逆矩陣方法(陜理工數(shù)學與計算機科學學院數(shù)教1102班,陜西漢中)指導教師:[摘要]矩陣的可逆性判定及逆矩陣的求解是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一.本文歸納總結出判定矩陣是否可逆及求逆矩陣的幾種方法.[關鍵詞]伴隨矩陣;初等矩陣;分塊矩陣引言矩陣是高等代數(shù)重要組成

2、部分,是許多數(shù)學分支研究的重要工具,已成為數(shù)學中一個及其重要的應用廣泛的概念,可逆矩陣作為一種特殊的矩陣,已成為代數(shù)特別是高等代數(shù)的一個主要研究對象,在解決矩陣問題中有重要的作用.因此對矩陣逆的研究自然也成為高等代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一.隨著科學技術的不斷發(fā)展,矩陣可逆的求解方法不斷更新,理論與實際的結合越發(fā)密切.所以我們有必要再次學習研究它,進一步豐富發(fā)展它.本文在了解了矩陣可逆的定義、判定和性質(zhì)等內(nèi)容的基礎上,歸納總結出了幾種可逆矩陣的求解方法.1基本概念與判定、性質(zhì)1.1基本概念定義1[1]n

3、級方陣稱為可逆的,如果有n級方陣,使得.(1)這里是n級單位矩陣.定義2[1]如果矩陣適合(1),那么就稱為的逆矩陣,記為.定義3[1]設是矩陣中元素的代數(shù)余子式,矩陣稱為的伴隨矩陣.定義4[1]矩陣的分塊在處理級數(shù)較高矩陣時,有時候我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的,就如矩陣是第2頁共17頁第1頁共15頁陜西理工學院畢業(yè)論文由數(shù)組成的一樣.特別在運算中,把這些小矩陣當作數(shù)一樣處理,這就是所謂矩陣的分塊.定義5[1]稱一下三種變化為矩陣的初等行(列)變換：(1)交換矩陣的某兩行(列)；(2)

4、以一個非零的數(shù)k乘矩陣的某一行(列)；(3)把矩陣的某一行(列的常數(shù)倍加到另一行(列)；矩陣的初等行變換和列變換統(tǒng)稱為初等變換.定義6[1]由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.定義7[2]若將分塊矩陣的子塊看成是普通矩陣的元素,則分塊矩陣的下列變換,稱為的廣義初等變換.(1)互換的兩行(列)；(2)用一個非零常數(shù)k乘的某行(列)；(3)用一個非零常數(shù)k乘的某行(列),并加到另一行(列)上.對的行(列)作上述三種變換,稱的廣義行(列)變換.1.2可逆矩陣的判定[3]定義法n級方陣稱為可

5、逆的,如果有n級方陣,使得.定理1矩陣是可逆的充分必要條件是非退化,且()定理2矩陣是可逆的充分必要條件是可以寫成初等矩陣的乘積.定理3矩陣是可逆的充分必要條件是的秩為n.定理4若齊次線性方程組只有零解,則是可逆矩陣.定理5階矩陣可逆的充要條件是它的特征值都不等于0.即,可逆.定理6可逆的充要條件是非齊次線性方程組總有唯一解.1.3可逆矩陣的性質(zhì)[1](1)若可逆,則也可逆且；(2)若可逆,則也可逆且；(3)若可逆,則(為任意一個非零的數(shù))也可逆且；(4),其中均為n階可逆陣.2可逆矩陣的求法2.

6、1定義法利用定義,湊的方法,當條件中有矩陣方程時,通過矩陣運算規(guī)律從矩陣方程中湊出(或)的形式,從而可得.例1求的逆矩陣.解因為,所以可逆.設的逆矩陣為,則由,得第14頁共16頁第8頁共16頁第1頁共15頁陜西理工學院畢業(yè)論文解得所以.注釋：定義法一般適用于求二級,三級可逆方陣的逆矩陣,級數(shù)高的可逆矩陣不宜采取這種方法.因為矩陣的級數(shù)越大,方程組所含的方程越多,解方程就會越困難.2.2伴隨矩陣法由定理1矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化,且()求得.例2求的逆矩陣.解因為,所以可逆.其中,,,同

7、理求得,,,,,.所以.注釋:由于要計算量較大,且容易出錯.因此用公式法一般適合求2階和3階這種階數(shù)較小的矩陣.對于3階以上的矩陣,工作量大且中途難免會出現(xiàn)計算錯誤和符號錯誤.對于求出的逆矩陣是否正確,一般要通過來檢驗,一旦出現(xiàn)錯誤,我們必須對每個計算都加以檢查,所以在用伴隨矩陣求逆時應當注意：(1)中的元素是中元素的代數(shù)余子式而不是余子式,計算式切勿遺漏符號；(2)元素位于中的第行第列,而不是第行,第列；(3)這種方法必須在判定該矩陣為可逆矩陣的基礎上進行.2.3初等變換法由定理2方陣可逆的充分

8、必要條件是可表示為若干個同階初等矩陣的乘積可求得.初等行(列)變換:可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行(列)變換化為單位矩陣,如果用一系列初等行(列)變換把可逆矩陣化成單位矩陣,那么同樣地用這一系列初等行(列)變換去化單位矩陣就得到.第14頁共16頁第1頁共15頁陜西理工學院畢業(yè)論文2.3.1.初等行變換具體方法是：欲求的逆矩陣時,首先由作出一個矩陣,即,然后對這個矩陣施以行初等變換只能用行初等變換,將它的左半部的矩陣化為單位矩陣,那么原來右半部的單位矩陣就同時化為.即.例3求的逆矩陣