劉加霞：小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”基本概念與思想方法分析

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”基本概念與思想方法分析劉加霞北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系lliujiaxia@263.netTel:8167609713120488008四則運(yùn)算：意義與問(wèn)題解決“運(yùn)算”的意義：四則運(yùn)算的與學(xué)生對(duì)其的理解“運(yùn)算”作為一種技能:背后的基本概念仍然是數(shù)概念，數(shù)概念的核心是“位值制”、“單位”。怎樣計(jì)算是教學(xué)的重要內(nèi)容，但僅此決不充分！運(yùn)算是一種“模型”:解決問(wèn)題的重要工具?！敖Ｋ枷搿?學(xué)生會(huì)“計(jì)算”與會(huì)利用“運(yùn)算”解決實(shí)際問(wèn)題是兩種不同的能力。加、減法的意義定義：“兩個(gè)數(shù)合并為一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫加法”“合并”？部分與整體？一個(gè)一個(gè)的變多？一個(gè)一個(gè)地減少？學(xué)生對(duì)于

2、“加法”的認(rèn)識(shí)有豐富的背景經(jīng)驗(yàn)，是一種“天生”的能力，但減法則不然。成人對(duì)“加、減法”的理解是一個(gè)自動(dòng)化的行為，容易忽視學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的困難。學(xué)生關(guān)于加、減法的概念結(jié)構(gòu)單一性結(jié)構(gòu)：20以內(nèi)，一個(gè)一個(gè)的，本質(zhì)是“計(jì)數(shù)”。學(xué)生的理解經(jīng)歷以下三階段：1.依賴于直觀實(shí)物，計(jì)數(shù)從“頭”開始2.直接“計(jì)數(shù)”并且從第一個(gè)加數(shù)開始繼續(xù)數(shù)3.利用已知事實(shí)（例如“湊十”）進(jìn)行計(jì)算：數(shù)感學(xué)生的現(xiàn)實(shí)狀況是什么？需要研究！學(xué)生關(guān)于加、減法的概念結(jié)構(gòu)多單位概念結(jié)構(gòu)：豎式計(jì)算，相同單位對(duì)齊。需要以下三條件：1.同數(shù)位的數(shù)才能運(yùn)算；2.同一數(shù)位上的數(shù)的運(yùn)算與個(gè)位上的數(shù)的運(yùn)算完全相同；3.“進(jìn)位”與“退

3、位”核心：位值制，單位（組合式多重單位與序列式多重單位）語(yǔ)言：漢語(yǔ)的優(yōu)越性教具：“計(jì)數(shù)魔方”與“計(jì)數(shù)器”問(wèn)題解決：加減法的應(yīng)用加、減法的意義的兩類應(yīng)用：1.合并（比較）：靜態(tài)的（兩個(gè)量）2.增加（減少）性變化：動(dòng)態(tài)的理解（一個(gè)量）3.“生活數(shù)學(xué)”與“形式數(shù)學(xué)”本質(zhì)是一樣的：三個(gè)量，已知兩個(gè)求第三個(gè)。小學(xué)階段滲透“形式數(shù)學(xué)”可行嗎？適度抽象有價(jià)值，例如互逆關(guān)系。但抽象也造成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。我們?cè)趺崔k？真正的研究！教學(xué)的啟示：新課程背景下我們?nèi)绾巫觯恐匾暋?0以內(nèi)數(shù)的計(jì)算”，達(dá)到自動(dòng)化程度。建立在理解基礎(chǔ)上的計(jì)算，而非機(jī)械訓(xùn)練。訓(xùn)練多少就能達(dá)到自動(dòng)化呢？計(jì)算機(jī)時(shí)代下

4、計(jì)算教學(xué)的價(jià)值是什么？學(xué)生的錯(cuò)誤是什么？根源是什么？乘除法：意義與問(wèn)題解決模型等量組的聚集：一嘟嚕一嘟嚕地連加，“每……共……”結(jié)構(gòu)倍數(shù)問(wèn)題：我的歲數(shù)是你的3倍，你9歲，我?guī)讱q？映射問(wèn)題:一只貓有4只爪子,5只貓共有多少爪子?配對(duì)問(wèn)題：3男5女，一男一女做游戲，有多少種搭配？長(zhǎng)方形的面積：長(zhǎng)×寬本質(zhì)與區(qū)別可以不強(qiáng)調(diào)“乘數(shù)與被乘數(shù)”嗎？前兩者與后兩者不同：地位的對(duì)稱與不對(duì)稱要不要強(qiáng)調(diào)“兩種除”？乘除法的難點(diǎn)與常見(jiàn)錯(cuò)誤難點(diǎn)：多維變量，產(chǎn)生“新量”分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除法的難處：1）每千克糖果25元，買5千克這樣的糖果要花多少錢？（乘法）2）每千克糖果21.25元，買0.85千克

5、這樣的糖果要花多少錢？（除法）為什么？錯(cuò)誤觀念的干擾：“乘變多，除變少”學(xué)生的錯(cuò)誤到底是什么？產(chǎn)生根源是什么？真研究！尷尬：“機(jī)械算法”的教學(xué)（除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)）但是為什么？能否讓學(xué)生理解？?jī)蓚€(gè)案例<乘法的初步認(rèn)識(shí)><列豎式求兩位數(shù)除以一位數(shù)>教師A的課從生活引入：“一家有3口人，每人吃2個(gè)橘子，一共吃了幾個(gè)橘子”。給出概念：2+2+2中每個(gè)加數(shù)都相同，就可以用乘法來(lái)表示：2*3=6。強(qiáng)化：擺三角形、買文具、買氣球、分糖學(xué)生所獲得的‘乘法’的知識(shí)是“事實(shí)性知識(shí)”。教師B的課活動(dòng)引入：擺小棒列式子計(jì)算：感受“乘法”的必要性“慢點(diǎn)說(shuō)，我寫的跟不上了”、“你們

6、一起說(shuō)，要不我聽不清了”、“我的胳膊都寫酸了（并做出動(dòng)作）“太多了，真麻煩！”、“你就說(shuō)有幾個(gè)‘4’吧？”一種新表達(dá)方式：乘法突發(fā)事件：“12+9”通過(guò)符號(hào)進(jìn)一步理解:到底什么是“運(yùn)算”？“兩個(gè)得一個(gè)，結(jié)果唯一確定”兩個(gè)集合，一個(gè)對(duì)應(yīng)法則；蘊(yùn)涵函數(shù)的思想課程表就是一個(gè)運(yùn)算舉一個(gè)非數(shù)學(xué)計(jì)算的“運(yùn)算”的例子運(yùn)算律是整個(gè)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)從代數(shù)的角度來(lái)看“運(yùn)算”算術(shù)：解決問(wèn)題的有效工具代數(shù)：不太關(guān)心“運(yùn)算”的現(xiàn)實(shí)意義與模型，關(guān)注的是“運(yùn)算律”，關(guān)注的是一種代數(shù)的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)實(shí)中“尷尬”的估算情境一：某校期末考試卷上一道估算題：“每個(gè)足球78元，買2個(gè)足球，請(qǐng)你估計(jì)150元夠嗎？你是

7、怎么想的？閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生幾乎全是用精算算出結(jié)果的：“因?yàn)?8×2=156，156>150，所以夠”算不算對(duì)？給不給分？為此，教師們爭(zhēng)論不休?，F(xiàn)實(shí)中“尷尬”的估算“好像只有您的課堂中才用到估算。”教師陷入了尷尬中，反思起自己的教學(xué)過(guò)程：⑴通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引入了估算。⑵抽象地談在兩個(gè)算式中：“388+120，388+110“它們的和大約是多少？我們需要對(duì)每個(gè)數(shù)先進(jìn)行估計(jì)，再估計(jì)它們的和?！?88”可以怎么估？（380，390，400，300）——在388+120，388+110中，你打算分別怎樣估“388”，才能不僅快，而且與實(shí)際結(jié)果相差最??？生1：388+