函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想

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1、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想主干知識(shí)整合1．函數(shù)與方程思想(1)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開(kāi)所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問(wèn)題得到解決；(2)方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問(wèn)題中的其他各量，根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系，列方程(組)，通過(guò)解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，以求得問(wèn)題的解決；(3)函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的，函數(shù)思想重在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究，方程思想則是在動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系

2、．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想(1)根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面；(2)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題思路，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程；(3)數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野．【百度百科】函數(shù)思想http://baike.baidu.co

3、m/view/2045453.htm【百度百科】屬性結(jié)合http://baike.baidu.com/view/134322.htm要點(diǎn)熱點(diǎn)探究?　探究點(diǎn)一　列方程（組）解題例1(1)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8＝32，則S10等于(　　)A．18B．24C．60D．90(2)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p＝________.【分析】(1)根據(jù)數(shù)列中的基本量方法，列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；(2)根據(jù)弦長(zhǎng)公式建立關(guān)于

4、p的方程．(1)C　(2)2　【解析】(1)由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32得2a1＋7d＝8，則d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60.故選C.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為y＝x－，聯(lián)立有消元后得x2－3px＋＝0.又

5、AB

6、＝x1＋x2＋p＝8，解得p＝2.?　探究點(diǎn)二　使用函數(shù)方法解決非函數(shù)問(wèn)題例2(1)已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5，則數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值是_______

7、_．(2)長(zhǎng)度都為2的向量，的夾角為60°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧(劣弧)上，＝m＋n，則m＋n的最大值是________．【分析】(1)根據(jù)方程思想求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，建立Sn關(guān)于n的函數(shù)；(2)將向量坐標(biāo)化，建立m＋n關(guān)于動(dòng)向量的函數(shù)關(guān)系．(1)4　(2)　【解析】(1)設(shè){an}的公差為d，由已知條件，解出a1＝3，d＝－2.Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2時(shí)，Sn取到最大值4.(2)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量＝(2,0)，向量＝(1，)．設(shè)向量＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2co

8、sα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sin≤.變式題若a>1，則雙曲線－＝1的離心率e的取值范圍是(　　)A．(1，)B．(，)C．[，]D．(，)B　【解析】e2＝2＝＝1＋2，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)a>1時(shí)，0<<1，所以20，問(wèn)是否存在x0∈，使得f(x0)>g(x0

9、)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)記函數(shù)H(x)＝[f(x)－1]·[g(x)－1]，若函數(shù)y＝H(x)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】(1)假設(shè)存在，即存在x0∈，使得，f(x0)－g(x0)＝x0(x0－a)2－[－x＋(a－1)x0＋a]＝x0(x0－a)2＋(x0－a)(x0＋1)＝(x0－a)[x＋(1－a)x0＋1]>0，當(dāng)x0∈時(shí)，又a>0，故x0－a<0，則存在x0∈，使得x＋(1－a)x0＋1<0，①當(dāng)>即a>3時(shí)，2＋(1－a)＋1<0得a>3或a<－，∴a>3；②當(dāng)－1≤≤即0

10、3，∴a無(wú)解．綜上：a>3.　(2)據(jù)題意有f(x)－1＝0有3個(gè)不同的實(shí)根，g(x)－1＝0有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相