分?jǐn)?shù)階微分方程_課件

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1、分?jǐn)?shù)階微分方程一、預(yù)備知識(shí)1、分?jǐn)?shù)階微積分經(jīng)典定義回顧作為分?jǐn)?shù)階微積分方程的基礎(chǔ)，本書在第二章中對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的定義及性質(zhì)做了系統(tǒng)的介紹，為了接下來討論的需要，我們首先對(duì)其進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧。（1）分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想如上圖所示，分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的整數(shù)階微積分，從而將微積分的概念延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸，甚至是整個(gè)復(fù)平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據(jù)不同的需求人們給出了分?jǐn)?shù)階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對(duì)某些特定條件下的函數(shù)給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為

2、止，人們?nèi)匀粵]能給出分?jǐn)?shù)階微積分的一個(gè)統(tǒng)一的定義,這對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的研究與應(yīng)用造成了一定的困難。1、分?jǐn)?shù)階微分的定義為了滿足實(shí)際需要，下面我們?cè)噲D從形式上對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分給出一種統(tǒng)一的表達(dá)式。分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的累次微積分，所有推廣方法的共同目標(biāo)是以非整數(shù)參數(shù)取代經(jīng)典微積分符號(hào)中的整數(shù)參數(shù)，實(shí)際上，任意的階微分都可以看成是一列一階微分的疊加：（1）由此，我們可以給出一種在很多實(shí)際應(yīng)用中十分重要的分?jǐn)?shù)階微積分的推廣方式。首先，我們假設(shè)已有一種合適的推廣方式來將一階微分推廣為（）階微分，即是可實(shí)

3、現(xiàn)的。那么類似地可得到（1）的推廣式為：（2）這種推廣方式最初是由和提出來的，其中采用的是分?jǐn)?shù)階微分定義，他們稱之為序列分?jǐn)?shù)階微分。序列分?jǐn)?shù)階微分的其他形式可以通過將替換為分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分或其他任意形式分?jǐn)?shù)階微分來得到。進(jìn)一步，如果我們將（2）中的分?jǐn)?shù)階微分替換為不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分可得到序列分?jǐn)?shù)階微分更一般的表達(dá)式：（3）根據(jù)問題的需要，可以是分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分或其他任意形式的分?jǐn)?shù)階微分，從這一點(diǎn)看來，我們可以說序列分?jǐn)?shù)階微分從形式上給出了分?jǐn)?shù)階微積分在時(shí)域上的一個(gè)統(tǒng)一表達(dá)式，分

4、數(shù)階微分、分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階微分都只是序列分?jǐn)?shù)階微分的一種特殊情況。故而，下面我們?cè)趯?duì)分?jǐn)?shù)階微積分方程進(jìn)行理論分析的時(shí)候可以僅僅針對(duì)序列分?jǐn)?shù)階微積分來給出結(jié)論。3、M-R序列分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換下面我們考慮如下形式的序列分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換。（4）（5）（6）在R-L分?jǐn)?shù)階微分定義下有：（7）重復(fù)利用上式次可得：（8）注：雖然上述序列分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換是在R-L分?jǐn)?shù)階微分定義下進(jìn)行證明的，但是該結(jié)論對(duì)其他幾種分?jǐn)?shù)階微積分也是成立的。4、泛函理論基礎(chǔ)定理1（Schauder

5、不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)是空間的有界閉子集，如果是連續(xù)映射，那么在中存在不動(dòng)點(diǎn)，即使得的點(diǎn)存在。定義1（Lipschitz條件）設(shè)是距離空間，是從到的映射，如果存在常數(shù)，使得對(duì)所有的，則稱滿足條件，成為的常數(shù)。特別的，如果，則稱為壓縮映射。定理2（Banach壓縮映像原理）設(shè)是距離空間，是壓縮映射，則在中恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，則對(duì)任何初始點(diǎn)，逐次迭代點(diǎn)列，收斂于，且關(guān)于收斂速度有如下估計(jì)式：其中，是的常數(shù)。一、解的存在唯一性理論近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)在國(guó)內(nèi)外引起極大的研究興趣，尤其是關(guān)于其解的性質(zhì)的

6、研究，諸如存在性及唯一性等，其中大多數(shù)的研究方法是通過把分?jǐn)?shù)階初值問題轉(zhuǎn)換成等價(jià)的分?jǐn)?shù)階積分方程,然后運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理來得到分?jǐn)?shù)階初值問題解的存在唯一性結(jié)果。已有研究結(jié)果主要有以下限制：（1）函數(shù)的定義區(qū)間為有限區(qū)間；（2）函數(shù)在定義域上需滿足條件；因此，目前人們?cè)谶@方面所做的工作都是希望設(shè)法在放寬上述兩個(gè)限制條件后給出分?jǐn)?shù)階微積分方程的解的存在唯一性定理。下面我們對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題的現(xiàn)有理論結(jié)果作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，相應(yīng)的結(jié)論都是針對(duì)定義在有限區(qū)間上的M-R序列分?jǐn)?shù)階微分形式，在滿足條件下給出的，當(dāng)然

7、，由前面的介紹可知，這些結(jié)論也可直接推廣到其他分?jǐn)?shù)階微分形式。1、線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性定理考慮如下形式的初值問題：且，即（11）第一步：假設(shè)，考慮由此得到的退化問題解的存在唯一性。定理1如果，則方程（12）有滿足初值條件（10）的唯一解。定理的證明過程如下：步驟一通過Laplace變換證明解的存在性；下面我們?cè)O(shè)法構(gòu)造一個(gè)待求解問題解，對(duì)式（12）做Laplace變換可得：（13）其中，、分別是、的Laplace變換。利用初值條件（10）可得：（14）對(duì)上式做Laplace逆變換可得：（15）

8、步驟二由分?jǐn)?shù)階微分的線性性和Laplace變換的性質(zhì)證明唯一性。假設(shè)有存在兩個(gè)滿足上述初值問題的解、令，有分?jǐn)?shù)階微分方程的線性性可得：（16）從而有（17）由Laplace變換的性質(zhì)可知：在上幾乎處處成立。故原方程的解在上唯一。注：上述證明過程中用到的Laplace變換法是一種常用的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法，該方法步驟簡(jiǎn)單，適用范圍較廣，在實(shí)際中有著重要應(yīng)用，后面將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)介紹。第二步：運(yùn)用第一步的結(jié)論證明原初值問題解的存在唯一性。定理2