分?jǐn)?shù)階微分方程-課件.pdf

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1、精品文檔分?jǐn)?shù)階微分方程第三講分?jǐn)?shù)階微分方程基本理論一、分?jǐn)?shù)階微分方程的出現(xiàn)背景及研究現(xiàn)狀1、出現(xiàn)背景分?jǐn)?shù)階微積分是關(guān)于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。整數(shù)階微積分作為描述經(jīng)典物理及相關(guān)學(xué)科理論的解析數(shù)學(xué)工具已為人們普遍接受，很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型最終都可以歸結(jié)為整數(shù)階微分方程的定解問(wèn)題，其無(wú)論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有較完善的理論。但當(dāng)人們進(jìn)入到復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜現(xiàn)象的研究時(shí)，經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對(duì)這些系統(tǒng)的描述將遇到以下問(wèn)題：（1）需要構(gòu)造非線性方程，并引入一些人為

2、的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)和與實(shí)際不符的假設(shè)條件；（2）因材料或外界條件的微小改變就需要構(gòu)造新的模型；（3）這些非線性模型無(wú)論是理論求解還是數(shù)值求解都非常繁瑣?；谝陨显?，人們迫切期待著有一種可用的數(shù)學(xué)工具和可依據(jù)的基本原理來(lái)對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。分?jǐn)?shù)階微積分方程非常適合于刻畫(huà)具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程，其對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述具有建模簡(jiǎn)單、參數(shù)物理意義清楚、描述準(zhǔn)確等優(yōu)勢(shì)，因而成為復(fù)雜力學(xué)與物理過(guò)程數(shù)學(xué)建模的重要工具之一。2、研究現(xiàn)狀在近三個(gè)世紀(jì)里，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學(xué)的純理論領(lǐng)域里進(jìn)行，似乎它只對(duì)數(shù)學(xué)

3、家們有用。然而在近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程越來(lái)越多的被用來(lái)描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)階微積分理論也受到越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，特別是從實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的分?jǐn)?shù)階微分方程成為很多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點(diǎn)。隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在越來(lái)越多的科學(xué)領(lǐng)域里出現(xiàn)，無(wú)論對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的理論分析還是數(shù)值計(jì)算的研究都顯得尤為迫切。然而由于分?jǐn)?shù)階微分是擬微分算子，它的保記憶性（非局部性）對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行了優(yōu)美刻畫(huà)的同時(shí)，也給我們的分析和計(jì)算造成很大困

4、難。在理論研究方面，幾乎所有結(jié)果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣，換句話說(shuō)，這些工作基本上可以說(shuō)只是經(jīng)典微積分方程理論的一個(gè)延拓。對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的定性分析很少有系統(tǒng)性的結(jié)果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。在數(shù)值求解方面，現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階方程數(shù)值算法還很不成熟，主要表現(xiàn)為：（1）在數(shù)值計(jì)算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長(zhǎng)時(shí)間歷程的計(jì)算和大空間域的計(jì)算等；（2）成熟的數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元法；（

5、3）未形成成熟的數(shù)值計(jì)算軟件，嚴(yán)重滯后于應(yīng)用的需要。1歡迎下載。精品文檔鑒于此，發(fā)展新數(shù)值算法，特別是在保證計(jì)算可靠性和精度的前提下，提高計(jì)算效率，解決分?jǐn)?shù)階微分方程計(jì)算量和存儲(chǔ)量過(guò)大的難點(diǎn)問(wèn)題，發(fā)展相應(yīng)的計(jì)算力學(xué)應(yīng)用軟件成為迫切需要關(guān)注的課題。二、預(yù)備知識(shí)1、分?jǐn)?shù)階微積分經(jīng)典定義回顧作為分?jǐn)?shù)階微積分方程的基礎(chǔ)，本書(shū)在第二章中對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的定義及性質(zhì)做了系統(tǒng)的介紹，為了接下來(lái)討論的需要，我們首先對(duì)其進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧。（1）分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想如上圖所示，分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的整數(shù)階微積分

6、，從而將微積分的概念延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸，甚至是整個(gè)復(fù)平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據(jù)不同的需求人們給出了分?jǐn)?shù)階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對(duì)某些特定條件下的函數(shù)給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為止，人們?nèi)匀粵](méi)能給出分?jǐn)?shù)階微積分的一個(gè)統(tǒng)一的定義,這對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的研究與應(yīng)用造成了一定的困難。（2）幾種經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分定義下面我們?cè)噲D從理論依據(jù)、定義域、表達(dá)式和優(yōu)缺點(diǎn)幾個(gè)方面給出常見(jiàn)的四種分?jǐn)?shù)階微積分定義的比較圖。分?jǐn)?shù)階微積分定義依據(jù)1：整數(shù)階微分的差分定義依據(jù)2：整數(shù)階

7、積分的柯西公式f(k)(t)?lim1?k(?1)r??k??f(t?rh),k?Nf(?n)(t)?1?t(t?u)n?1f(u)duh?0hk?r??(n)ar?0定義域：f(t)在[a,b]具有定義域：定義域：{f(t)}先積分后微分f(t)在[a,b]上逐段連續(xù)且f(t)在[a,b]具有先微分后積分定義域：[p]+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù){f(t)}{f(t)}{f(t)f(t)?0;t?a}在任意有限子區(qū)間上可積[p]+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)G-L分?jǐn)?shù)階微積分定義：R-L分?jǐn)?shù)階微積分定義：Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義

8、：基于廣義函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分定義：1n?[t?a]?p??d?n1D%pf(t)?f(t)??(t)?hRDp[f(t)]?RD?(n?p),n?1?p?n,n?NCDp[f(t)]??t(t?u)n?p?1f(n)(u)du,p?0at?pGDp[f(t)]?lim(?1)r??f(t?rh)????[f(t)]??athpat?dt?atat?(n?p)a?tp?1h?0?r?r?01?,t?0RD?(n?p)[f(t)]