分數(shù)階微分方程_課件new

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1、分數(shù)階微分方程第三講分數(shù)階微分方程基本理論一、分數(shù)階微分方程的出現(xiàn)背景及研究現(xiàn)狀1、出現(xiàn)背景分數(shù)階微積分是關于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。整數(shù)階微積分作為描述經(jīng)典物理及相關學科理論的解析數(shù)學工具已為人們普遍接受，很多問題的數(shù)學模型最終都可以歸結為整數(shù)階微分方程的定解問題，其無論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有較完善的理論。但當人們進入到復雜系統(tǒng)和復雜現(xiàn)象的研究時，經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對這些系統(tǒng)的描述將遇到以下問題：（1）需要構造非線性方程，并引入一些人為的經(jīng)驗參數(shù)和與實際不符的假設條件；（2）因材料或外界條件的微小改

2、變就需要構造新的模型；（3）這些非線性模型無論是理論求解還是數(shù)值求解都非常繁瑣?；谝陨显颍藗兤惹衅诖幸环N可用的數(shù)學工具和可依據(jù)的基本原理來對這些復雜系統(tǒng)進行建模。分數(shù)階微積分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程，其對復雜系統(tǒng)的描述具有建模簡單、參數(shù)物理意義清楚、描述準確等優(yōu)勢，因而成為復雜力學與物理過程數(shù)學建模的重要工具之一。2、研究現(xiàn)狀在近三個世紀里，對分數(shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學的純理論領域里進行，似乎它只對數(shù)學家們有用。然而在近幾十年來，分數(shù)階微分方程越來越多的被用來描述光學和熱學系統(tǒng)、流變學及材料和力學系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別

3、、控制和機器人及其他應用領域中的問題。分數(shù)階微積分理論也受到越來越多的國內外學者的廣泛關注，特別是從實際問題抽象出來的分數(shù)階微分方程成為很多數(shù)學工作者的研究熱點。隨著分數(shù)階微分方程在越來越多的科學領域里出現(xiàn)，無論對分數(shù)階微分方程的理論分析還是數(shù)值計算的研究都顯得尤為迫切。然而由于分數(shù)階微分是擬微分算子，它的保記憶性（非局部性）對現(xiàn)實問題進行了優(yōu)美刻畫的同時，也給我們的分析和計算造成很大困難。在理論研究方面，幾乎所有結果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣，換句話說，這些工作基本上可以說只是經(jīng)典微積分方程理論的一個延拓。對分數(shù)階微分方程的定

4、性分析很少有系統(tǒng)性的結果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。在數(shù)值求解方面，現(xiàn)有分數(shù)階方程數(shù)值算法還很不成熟，主要表現(xiàn)為：（1）在數(shù)值計算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長時間歷程的計算和大空間域的計算等；（2）成熟的數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元法；（3）未形成成熟的數(shù)值計算軟件，嚴重滯后于應用的需要。鑒于此，發(fā)展新數(shù)值算法，特別是在保證計算可靠性和精度的前提下，提高計算效率，解決分數(shù)階微分方程計算量和存儲量過大的難點問題，發(fā)展相應的計算力學應用軟件成為迫切需要關注的課題。一、預

5、備知識1、分數(shù)階微積分經(jīng)典定義回顧作為分數(shù)階微積分方程的基礎，本書在第二章中對分數(shù)階微積分的定義及性質做了系統(tǒng)的介紹，為了接下來討論的需要，我們首先對其進行一個簡要的回顧。（1）分數(shù)階微積分的主要思想如上圖所示，分數(shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的整數(shù)階微積分，從而將微積分的概念延拓到整個實數(shù)軸，甚至是整個復平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據(jù)不同的需求人們給出了分數(shù)階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對某些特定條件下的函數(shù)給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為止，人們仍然沒能給出分數(shù)階微積分的一個統(tǒng)一的定義,這對分數(shù)階微積分的研究與應用

6、造成了一定的困難。（2）幾種經(jīng)典的分數(shù)階微積分定義下面我們試圖從理論依據(jù)、定義域、表達式和優(yōu)缺點幾個方面給出常見的四種分數(shù)階微積分定義的比較圖。從上圖我們看到，在分數(shù)階微積分的發(fā)展過程中，人們根據(jù)不同的需求，從不同角度給出了分數(shù)階微積分的定義，但這些定義無論從對象上還是從表達式上都無法實現(xiàn)統(tǒng)一，它們之間的關系大致可以用下圖來表示。注：條件1：在上逐段連續(xù)，且在任何有限子區(qū)間上可積；條件2：在上具有階連續(xù)導數(shù)；條件3：，；條件4：，。由上圖我們可以看到，對于不同的分數(shù)階微積分定義方式有著不同定義域，即便是在公共區(qū)域內，不同的定義方式之間也無法實現(xiàn)完全的統(tǒng)一，這對

7、分數(shù)階微積分的應用和研究造成了一定的困難，因此人們迫切期望著分數(shù)階微積分的一種哪怕是形式上的統(tǒng)一定義方式。1、M-R序列分數(shù)階微分的定義為了滿足實際需要，下面我們試圖從形式上對分數(shù)階微積分給出一種統(tǒng)一的表達式。分數(shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的累次微積分，所有推廣方法的共同目標是以非整數(shù)參數(shù)取代經(jīng)典微積分符號中的整數(shù)參數(shù)，即：實際上，任意的階微分都可以看成是一列一階微分的疊加：（1）由此，我們可以給出一種在很多實際應用中十分重要的分數(shù)階微積分的推廣方式。首先，我們假設已有一種合適的推廣方式來將一階微分推廣為（）階微分，即是可實現(xiàn)的。那么類似地可得到（1）的推廣

8、式為：（2）這種推廣方式最初是由和提出