arma模型時(shí)間序列分析法

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1、ARMA模型時(shí)間序列分析法ARMA模型時(shí)間序列分析法簡稱為時(shí)序分析法，是一種利用參數(shù)模型對有序隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別的方法。參數(shù)模型包括AR自回歸模型、MA滑動(dòng)平均模型和ARMA自回歸滑動(dòng)平均模型。1969年AkaikeH首次利用自回歸滑動(dòng)平均ARMA模型進(jìn)行了白噪聲激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識別。N個(gè)自由度的線性系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系可用高階微分方程來描述，在離散時(shí)間域內(nèi)，該微分方程變成由一系列不同時(shí)刻的時(shí)間序列表示的差分方程，即ARMA時(shí)序模型方程：(1)式(1)表示響應(yīng)數(shù)據(jù)序列與歷史值的關(guān)

2、系，其中等式的左邊稱為自回歸差分多項(xiàng)式，即AR模型，右邊稱為滑動(dòng)平均差分多項(xiàng)式，即MA模型。2N為自回歸模型和滑動(dòng)均值模型的階次，、分別表示待識別的自回歸系數(shù)和滑動(dòng)均值系數(shù)，表示白噪聲激勵(lì)。當(dāng)k＝0時(shí)，設(shè)。由于ARMA過程{}具有唯一的平穩(wěn)解為(2)式中：為脈沖響應(yīng)函數(shù)。的相關(guān)函數(shù)為(3)是白噪聲，故(4)式中：為白噪聲方差。將此結(jié)果代人式(3)，即可得(5)因?yàn)榫€性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，是脈沖信號，激勵(lì)該系統(tǒng)時(shí)的輸出響應(yīng)，故由ARMA過程定義的表達(dá)式為(6)利用式(5)和式(6)，可以得出：(7)對于一個(gè)ARM

3、A過程，當(dāng)是大于其階次2N時(shí)，參數(shù)＝0。故當(dāng)l>2N時(shí)，式(7)恒等于零，于是有(8)或?qū)懗?9)設(shè)相關(guān)函數(shù)的長度為L，并令M＝2N。對應(yīng)不同的l值，由代人以上公式可得一組方程：(10)將式(10)方程組寫成矩陣形式，則有(11)或縮寫為(12)式(12)為推廣的Yule-walker方程。一般情況下，由于L比2N大得多，采用偽逆法可求得方程組的最小二乘解，即(13)由此求得自回歸系數(shù)?；瑒?dòng)平均模型系數(shù)可通過以下非線性方程組來求解：(14)其中(15)式中：為響應(yīng)序列的自協(xié)方差函數(shù)。滑動(dòng)平均模型MA系數(shù)的估算方

4、法很多，主要的有基于Newton-Raphson算法的迭代最優(yōu)化方法和基于最小二乘原理的次最優(yōu)化方法。當(dāng)求得自回歸系數(shù)和滑動(dòng)均值系數(shù)后，可以通過ARMA模型傳遞函數(shù)的表達(dá)式計(jì)算系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，ARMA模型的傳遞函數(shù)為(16)用高次代數(shù)方程求解方法計(jì)算分母多項(xiàng)式方程的根：(17)或表示成以下形式的方程：(18)求解得到的根為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，它們與系統(tǒng)的模態(tài)頻率，和阻尼比的關(guān)系為(19)并且由式(19)可求得模態(tài)頻率，和阻尼比，即(20)為計(jì)算模態(tài)振型，需要先求出留數(shù)。設(shè)q點(diǎn)處激勵(lì)p點(diǎn)響應(yīng)的傳遞函數(shù)的第是階留數(shù)為，

5、可用下式計(jì)算留數(shù)：(21)振型向量可以通過對一系列響應(yīng)測點(diǎn)求出的留數(shù)處理得到。對于一個(gè)有n個(gè)響應(yīng)測點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，首先需要從n個(gè)對應(yīng)同一階模態(tài)的留數(shù)中找出絕對值最大的測點(diǎn)，假設(shè)該點(diǎn)是測點(diǎn)m，對應(yīng)第k階模態(tài)的歸一化復(fù)振型向量可由下式求出：(22)