約當(dāng)消去法和高斯消去法

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1、約當(dāng)消去法和高斯消去法的應(yīng)用一、題目：求解方程組：誤差分析范圍為e=0.0001.二、引言線性方程組的解法大致分為直接法與迭代法兩大類。迭代法的突出優(yōu)點是算法簡單，編程容易。但迭代法的缺點是它要求迭代過程具有收斂性，發(fā)散的迭代過程是沒有實用價值的。前面我們通過對迭代法的學(xué)習(xí)，已經(jīng)大致掌握了有關(guān)迭代法的基本思想，此處我們將學(xué)習(xí)解決線性方程組的另一種方法——直接法這種算法思想簡單并且容易掌握，結(jié)果精確，這雖然是一種古老的算法，但用在現(xiàn)代計算機上仍十分有效，所以這依然是一種十分有效的解決線性方程組的一種方法，下面我們一起來學(xué)習(xí)這種算法！三、算法直接法中我們接觸到的有約當(dāng)消去法和高斯

2、消去法，下面我們將逐一介紹兩種算法：1、約當(dāng)消去法：考察一般形式的線性方程組,i=1，2，3，…，n（1）第一步，先把方程（1）中的第一個方程的的系數(shù)化為1，并從其余的方程中消去，得到方程（1）1第二步，先把方程中的第二個方程的的系數(shù)化為1，并從其余的方程中消去，得到方程（1）2第K步，先把方程中的第k個方程的的系數(shù)化為1，并從其的方程中消去，得到方程（1）K第n步，先把方程中的第n個方程的系數(shù)化為1，并從其與方程中消去。這樣經(jīng)過n步的消去就可以得到原方程組的解。2、高斯消去法高斯消去法包括兩個過程：消去過程和回代過程（1）消去過程：第一步，把方程中的第一個方程的x（1）的系

3、數(shù)化為1，并從其余方程中的x1消去，得到新的方程（1）1第二步，把方程（1）1中的第二個方程的x(2)的系數(shù)化為1，從第三個方程開始一直到第n個方程中消去x(2)得到新的方程（1）2第k步，把方程（1）k-1中的第k個方程中的x(k)的系數(shù)化為1，并且從k+1個方程開始一直到第n個方程中消去x(k),得到新的方程（1）k第n步，把方程（1）n-1中的第n個方程的x(n)的系數(shù)化為1，得到新的方程（1）n這樣，通過n步轉(zhuǎn)化就可以得到x(n)的值（2）回代過程：由(1)n方程得到x(n)的值，再把x(n)帶回到方程（1）n-1中得到x(n-2)，按此方式，一次將其回代，就可以得到

4、所要求的方程的解這就是高斯消去法四、程序代碼及數(shù)據(jù)1、約當(dāng)消去法Programfjs3implicitnoneinteger::k,i,jinteger,parameter::m=3,n=3real::a(m,n)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/)real::b(m)=(/7.2,8.3,4.2/)dok=1,ndoj=k+1,na(k,j)=a(k,j)/a(k,k)enddob(k)=b(k)/a(k,k)doi=1,nif(i/=k)thendoj=k+1,na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)enddob(i)=b(i)-a

5、(i,k)*b(k)endifenddoenddowrite(*,*)b(1),b(2),b(3)stopend1.1000001.2000001.300000Pressanykeytocontinue1、高斯消去法programfjs3implicitnoneinteger::k,i,jinteger,parameter::m=3,n=3real::a(m,n)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/)real::b(m)=(/7.2,8.3,4.2/)dok=1,ndoj=k+1,na(k,j)=a(k,j)/a(k,k)enddob(k)=b(k)/a

6、(k,k)doi=k+1,ndoj=k+1,na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j)enddoenddodoi=k+1,nb(i)=b(i)-a(i,k)*b(k)enddoenddodoi=n-1,1,-1doj=i+1,nb(i)=b(i)-a(i,j)*b(j)enddoenddowrite(*,*)b(1),b(2),b(3)stopEnd1.1000001.2000001.300000Pressanykeytocontinue五、算法評估直接算法：優(yōu)點是工作量小精度高缺點是程序復(fù)雜對于高階矩陣，受計算機容量限制，適合與中小型方程組所以對線性方程組來說

7、，總的來說有兩種計算方法，一種是迭代法另一種是消去法。遇到一個特定的問題到底用什么方法，要視情況而定。對于低階的中小型方程組而言，一般選用消去法，而此時消去法的精度也完全可以滿足問題；對于高階方程組而言，我們一般選用迭代法，由此，針對線性方程組我們一般用此兩種方法就可以解決問題。