《高斯消去法》PPT課件

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1、第7章解線性方程組的直接法§1引言常見的兩種方程組（按系數(shù)矩陣的階n）：1、低階稠密矩陣：2、高階稀疏矩陣（大型稀疏矩陣）直接法間接法或稱迭代法直接法：計(jì)算過程中沒有舍入誤差，經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算可有效方法：選主元消去法解法：求得方程組的精確解。三角分解法解法：實(shí)際中有舍入誤差§7.2高斯消去法解：（古老或古典方法）基本思想方法：例3用消去法解方程組由行初等變換將系數(shù)矩陣約化為上三角矩陣；用回代的方法求解方程組。（1）消元：（2）回代求解，得m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)的線性方程組的高斯消去法：若記（1）第1步(k=1)，計(jì)算公式為：（m-1)(n-1)次乘法運(yùn)算高斯消去法：設(shè)，計(jì)

2、算乘數(shù)(m-1)次除法運(yùn)算對(duì)增廣矩陣施行行初等變換：（m-1)次乘法運(yùn)算記為（2）第k步（）設(shè)已完成上述消元過程第1步，第2步，…，第k-1步，（設(shè)）得到與原方程組等價(jià)的方程組其中元素計(jì)算公式為：計(jì)算乘數(shù)第k步計(jì)算：對(duì)施行行初等變換,使第k列以下元素約化為零，與前k行元素相同，左上角階陣為上三角陣。（m-k)次乘法運(yùn)算（m-k）次除法運(yùn)算（m-k)(n-k)次乘法運(yùn)算即，得到與原方程組等價(jià)的方程組（3）繼續(xù)上述約化過程，（i）當(dāng)m>n時(shí)，s=n，且設(shè)，則（ii）當(dāng)m=n時(shí)，s=n-1,且設(shè)，則直到完成第S步計(jì)算，得到與原方程組等價(jià)的方程組其中為上梯形，具有以下三種情況：(

3、iii)當(dāng)m

4、直接進(jìn)行消元計(jì)算,當(dāng)（用高斯變換約化）結(jié)論：定理6則存在初等下三角陣,使(上梯形).(1)如果，則通過高斯消去法（不進(jìn)行定理7交換兩行的初等變換）將化為等價(jià)的三角方程組?；卮?jì)算：消元計(jì)算：（2）如果A為非奇異矩陣，則可通過帶行交換的高斯消去Ganss消去法中注：則要求在算法中增加一判斷框，并要交換兩行元素（或者說交換兩個(gè)方程）。法，將化為等價(jià)的三角形方程組（3.12）。計(jì)算量：回代計(jì)算量：消元計(jì)算量(k=1,2,…,n-1)：除法：乘除法：乘法：定理8（2）若反之亦對(duì)。（1）若順序主子式，則（必要性）證明：用歸納法證明。當(dāng)時(shí)，顯然成立，假設(shè)對(duì)時(shí)成立，即,下證對(duì)k成立，即

5、由歸納法假設(shè)再由Ganss消去法，得是否是零，可以根據(jù)順序主子式來判斷。反之，若即定理對(duì)k亦成立。由Ganss消去法知(3.13)成立，則（2）若于是,對(duì)k=1,2,…,n時(shí)，(3.13)成理解高斯消去法并會(huì)用該方法解方程組。本節(jié)重點(diǎn)：立，則§3高斯消去法（古老或古典方法）高斯消去法：第k步（）設(shè)已完成上述消元過程第1步，第2步，…，第k-1步，（設(shè)）得到與原方程組等價(jià)的方程組其中元素計(jì)算公式為：計(jì)算乘數(shù)第k步計(jì)算：對(duì)施行行初等變換,使第k列以下元素約化為零，（m-k)次乘法運(yùn)算（m-k）次除法運(yùn)算（m-k)(n-k)次乘法運(yùn)算即，得到與原方程組等價(jià)的方程組說明：(1)上

6、述約化過程，可用矩陣變換來敘述，因由約化到,實(shí)際上是由乘數(shù)構(gòu)成初與相乘得到，即等下三角陣或