和差角公式和二倍角公式知識(shí)掃描

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1、和差角公式和二倍角公式知識(shí)掃描山東省濟(jì)南市平陰第三中學(xué)（250402）李佃花兩角和差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式既是進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明等三角變換的重要依據(jù)，又是解決其他問(wèn)題的重要工具。一、知識(shí)梳理1、的推導(dǎo)如圖，角的始邊為，交單位圓于點(diǎn)，終邊交單位圓于點(diǎn)，角的始邊，終邊交單位圓于點(diǎn)，角的始邊，終邊交單位圓于點(diǎn)，由，得，。公式是本節(jié)和下節(jié)課所有公式的根源，應(yīng)熟悉和掌握其推導(dǎo)過(guò)程。2、兩角和差的正弦、余弦、正切公式的內(nèi)在關(guān)系商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系兩點(diǎn)間距離公式、單位圓3、二倍角的正弦、余弦、正切公式在兩角和差

2、的正弦、余弦、正切公式中，令，即可得二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：（1）；（2）；（3）。4、公式應(yīng)用注意的幾點(diǎn)問(wèn)題（1）掌握上表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)線索，熟練掌握每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，主要是函數(shù)名稱和符號(hào)。（2）和差角公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣，而誘導(dǎo)公式是兩角和差公式的特殊情況，比如：；當(dāng)、中有一個(gè)為的整數(shù)倍時(shí)，使用誘導(dǎo)公式更加靈活、簡(jiǎn)便，此時(shí)不再用兩角和（差）公式展開。（3）公式在時(shí)成立，否則是不成立的。當(dāng)、和中有任何一個(gè)不存在時(shí)，就不能使用，應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或用其它方法來(lái)解；對(duì)于，和。（4）當(dāng)和

3、角公式中的兩角、相等時(shí)，就變成了相應(yīng)的倍角公式，所以在應(yīng)用時(shí)一定要在理解、掌握公式的來(lái)龍去脈的基礎(chǔ)上記憶、領(lǐng)會(huì)公式，把握住公式的結(jié)構(gòu)特征，弄清公式間的聯(lián)系，不要生硬地記憶，以防出錯(cuò)。(5)注意公式的逆用和變形使用應(yīng)熟悉公式的逆用和變用，公式的順用是常見的，而逆用和變用往往容易被忽視。下面是幾個(gè)公式的變形。（1）公式，應(yīng)注意兩種變形：和；（2）；；；；二、學(xué)法指導(dǎo)1、明確各公式的作用，深化對(duì)各公式的理解。三角恒等變形實(shí)質(zhì)是對(duì)角及函數(shù)名稱的變化，而轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是一系列三角公式。同角三角函數(shù)關(guān)系可實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱的變

4、化，而誘導(dǎo)公式及兩角和、差的三角函數(shù)公式、倍角公式可實(shí)現(xiàn)角的形式的轉(zhuǎn)化。三角變換時(shí)，必須做到：（1）弄清所需要的公式，分清和掌握哪些公式會(huì)實(shí)現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個(gè)公式的相互聯(lián)系和適用條件；（2）變換時(shí)需要知道式子中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；（3）變換時(shí)要注意如下技巧：切割與弦互化、異名化同名、異角化同角或盡量減少名稱和角度，盡量化為同次冪等。（4）在求值時(shí)，還要注意角、式子的拆、湊和常值的代換等。如：，，，，等。2、化簡(jiǎn)求值和三角恒等式證明的要求（1）求值時(shí)應(yīng)做到：i能

5、求值的要求出值；ii使三角函數(shù)的種數(shù)和項(xiàng)數(shù)盡量少、次數(shù)盡量低；iii盡量使分母不含有三角函數(shù)。(2)恒等式證明的基本思路根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更命題等方法，使等式兩端的“異”化為“同”。對(duì)條件等式的證明題，條件是推證結(jié)論的依據(jù)，結(jié)論是變形條件的向?qū)АＨ?、特別提示1、形如的函數(shù)式，只需將分子、分母分別乘，應(yīng)用二倍角正弦公式即可；2、注意倍角的相對(duì)性，如是的倍角等；3、在求角時(shí)，要注意確定角的范圍。