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1、安陽師范學院矩陣對角化方法探討摘要：本文利用矩陣的相關(guān)知識,研究了矩陣可對角化的若干方法.關(guān)鍵詞：可對角化;對角化方法;特征值;特征向量1引言形式最簡單的矩陣就是對角陣.矩陣對角化使矩陣論的重要組成部分,在矩陣論中占有重要的作用,研究矩陣對角化問題很有實用價值,矩陣對角化是線性變換和化二次型到主軸上問題中經(jīng)常遇到并需要解決的一個關(guān)鍵問題,然而并非任何一個階矩陣都可以對角化.本文利用矩陣的相關(guān)知識,如矩陣秩的知識,矩陣乘法原理,對一些理論進行應(yīng)用和舉例,介紹了矩陣對角化的四種方法,分別是一般方法;用矩陣初等變換將矩陣對角化的方法;利用矩陣乘法運算,探討矩陣對角化的方法;利用循環(huán)矩陣的性
2、質(zhì)尋找矩陣對角化的方法.2基本定義定義1設(shè)是階方陣,如果存在數(shù)和維非零向量,使得則稱是矩陣的一個特征值,是的屬于的一個特征向量.定義2設(shè)為階方陣,稱行列式為的特征多項式,記為,而稱為的特征方程.定義3階方陣稱為可逆的,如果存在階方陣,使得,其中是階單位矩陣.定義4設(shè),是階方陣,若存在階可逆矩陣,使得,則稱與相似,稱為的相似矩陣.定義5如果數(shù)域上,對級矩陣存在一個可逆矩陣使為對角形矩陣,則稱矩陣在數(shù)域上可對角化;當可對角化時,我們說將對角化,即指求可逆矩陣使為對角形矩陣.3矩陣對角化的幾種方法3.1一般方法第16頁安陽師范學院幾個定理定理階方陣相似于對角矩陣的充分必要條件是由個線性無關(guān)
3、的特征向量,且當相似于對角矩陣時,的主對角線元素就是的全部特征值.推論1方陣相似于對角矩陣的充分必要條件是的屬于每個特征值的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)正好等于該特征值的重數(shù).定理如果階方陣有個互不相同的特征值（即的特征值都是單特征值）,則必相似于對角矩陣.求階方陣的特征值與特征向量的一般步驟.第一步：計算特征多項式第二步：求出特征方程的全部根（重根按重數(shù)計算）,則就是的全部特征值.如果為特征方程的單根,則稱為的單特征根;如果為特征方程的重根,則稱為的重特征值,并稱為的重數(shù).第三步：對的相異特征值中的每個特征值,求出齊次線性方程的一個基礎(chǔ)解系,則就是對應(yīng)于特征值的特征空間的一個基,而的屬于
4、的全部特征向量為（其中為不全為的任意常數(shù)）如果階方陣相似于對角矩陣,則的相似對角化的一般步驟如下:第一步：求出的全部特征值;第二步：對的相異特征值中的每個特征值,求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,將所有這樣的基礎(chǔ)解系中的向量合在一起,假定這樣的向量共有個,它們就是的個線性無關(guān)的特征向量;第三步：令矩陣=,則有,其中是屬于特征值的特征向量.注意的列向量的排列次序于與對角矩陣的主對角線元素的排列次序相一致.如圖1所示：第16頁安陽師范學院圖1階方陣的相似對角化過程應(yīng)用實例例1設(shè)矩陣=當取何值時,相似于對角矩陣?在可對角化時,求可逆矩陣,使成對角矩陣.解先求的特征值,由===，第16頁安陽
5、師范學院得的全部特征值為.只有一個重特征值-1,故由定理1的推論,可對角化屬于2重特征值-1的線性無關(guān)特征向量正好有2個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含2個解向量而矩陣的秩為1當且僅當,故當且僅當時可對角化.當時,矩陣為=.計算可得的對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)特征向量可取為，對應(yīng)于的特征值的特征向量可取為.故所求的可逆矩陣可取為,它使得.注當有個互不相同的特征值時,必可對角化;當有重特征值時,可對角化的屬于每個重特征值的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)正好等于該特征值的重數(shù)對于的每個重特征值（設(shè)的重數(shù)為）,矩陣的秩為.3用矩陣初等變換將矩陣對角化的方法理論依據(jù)若矩陣在數(shù)域上可對角化,則有上可逆矩陣使為對
6、角形矩陣.于是的主對角線上的元素為的全體特征值,并且可表示為,其中為初等矩陣,.于是,,又也是初等矩陣,由初等矩陣與矩陣的初等變換的關(guān)系,即知相當于對施行了一次初等行變換與一次初等列變換.這里,我們稱第16頁安陽師范學院此種初等變換為對施行了一次相似變換.顯然,可對施行一系列的相似變換化為.又由（注：此處表單位矩陣）可如下進行初等變換,則可將化為對角形矩陣,且可求得,對只施行相應(yīng)的初等列變換.當不可對角化時,也可經(jīng)相似變換化簡后,求得其特征值,判定它可否對角化.類似地,可由,做如下初等變換,則可將化為對角形矩陣,且可求得或由求的特征值,判定可否對角化：,對只施行相應(yīng)的初等行變換.并且
7、在施行相似變換時,不必施行一次行變換后接著施行一次列變換這樣進行,可施行若干次行（或列）變換后再施行若干次相應(yīng)的列（或行）變換,只要保持變換后,最后所得矩陣與相似即可.用初等變換將矩陣對角化的方法有個特征單根的階可對角化矩陣的對角化方法引理1設(shè)是秩為的階矩陣,且其中是秩為的列滿秩矩陣,則矩陣所含的個列向量就是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.證明設(shè),對施以列的初等變換相當于右乘一階初等矩陣.設(shè)其中是一個階可逆矩陣,是一個階矩陣,令是矩陣的列向量.由線性無關(guān),且
