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《線性代數(shù)習(xí)題冊五解答》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五）一.判斷題（正確打√，錯誤打×）1．若，則是的一個特征值.(×)解答：因為沒有說明，所以錯誤.2．實對稱矩陣的非零特征值的個數(shù)等于它的秩.(√)解答：因為實對稱矩陣與對角矩陣相似（是的特征值），而的秩等于中非零數(shù)的個數(shù),又因為相似矩陣秩相同,所以結(jié)論正確.3．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)是的特征值(×)解答：正確結(jié)論是：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)是的特征值.4.若線性無關(guān)且都是的特征向量，則將它們先正交化，再單位化后仍為的特征向量.(×)解答：雖然都是的特征向量，但他們不一定屬于的同一個特征值，所以他們正交
2、化后不一定是特征向量.5．已知為階矩陣，為維列向量，如果不對稱，則不是二次型.(×)解答：對于任意的階矩陣，都是二次型，只是若不要求對稱，二次型中的不唯一.例如取，那么第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五），但取，仍得到此二次型.二．單項選擇題1.若階非奇異矩陣的各行元素之和均為常數(shù)，則矩陣有一個特征值為(C).(A)；(B)；(C)；(D).解答：因為階非奇異矩陣的各行元素之和均為常數(shù)，所以，從而，所以是的一個特征值，所以是的一個特征值.2.若為四階矩陣的特征多項式的三重根，則對應(yīng)于的特征向量最多有(A)個線性無關(guān).(A)3個；(B
3、)1個；(C)2個；(D)4個.解答：對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)的重數(shù).3.設(shè)為階非零矩陣，并且，那么(C).(A)不可逆，不可逆；(B)不可逆，可逆；(C)可逆，可逆；(D)可逆，不可逆.解答：設(shè)為的任意一個特征值，那么是的特征值，但，所以，所以不是的特征值，所以、都可逆.5.設(shè)，則在實數(shù)域上與合同的矩陣為(D).(A)；(B)；(C)；(D).第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五）解答：方法1合同矩陣的行列式符號相同(,那么)，所以選(D).方法2,令,那么,而的矩陣就是,所以選(D).方法3的特征值是,而的特征值也是,
4、所以兩個二次型可化為同一個標(biāo)準(zhǔn)型,所以與合同,所以選(D).三.填空題1.若為正定矩陣，且，則E.解答：因為為正定矩陣,所以,并且可逆，從而,即,所以.2.設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，，，則的非零特征值為1.解答：方法1,而線性無關(guān)，所以矩陣可逆，所以，即與相似，所以的非零特征值為1.方法2因為，，所以0是的一個特征值.因為第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五），而，所以1是的一個特征值,而為2階矩陣,所以的非零特征值為1.3.設(shè)3階方陣的特征值互不相同，，則的秩2.解答：因為的特征值互不相同，所以與對角矩陣相似，所以等于的
5、非零特征值的個數(shù),因為為3階方陣,,所以的特征值是，、，所以.4.（2011年考研題）若二次曲面的方程經(jīng)正交變換化為，則1.解答：由題知二次型的系數(shù)矩陣的特征值為，于是有，解得.5.（2011年考研題）設(shè)二次型的秩為1，的各行元素之和為3，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為解答：因為二次型的秩為1，所以非零特征值只有一個，由的各行元素之和為3，知3是的特征值，故在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為.6.（2011年考研題）二次型，則的正慣性指數(shù)為2.解答：方法1配方得，故正慣性指數(shù)為2.第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五）方法2求的特征值也可得正慣性指數(shù)為
6、2.7.設(shè)3階矩陣的特征值為，則3.解答：因為的特征值為,所以的特征值為,所以的特征值為,所以四.計算題1.求矩陣的特征值與特征向量.解答：,所以特征值為，.對于,求得特征向量為,對于,求得特征向量為,其中是不為零的任意常數(shù).2．求的特征值與特征向量.解答：因為,所以,.第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五）對應(yīng)于:方程組即為,所以特征向量為,其中不全為零.對應(yīng)于:因為,所以方程組即為,所以,其中.3.設(shè)與對角陣相似，求和應(yīng)滿足的條件.解答：容易求得的特征值為，，因為與對角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)有3個線性無關(guān)的特征向量，所以對應(yīng)于，應(yīng)該有兩個
7、線性無關(guān)的特征向量，所以，即,而第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五）,所以.4.（2011年考研題）設(shè)為3階實對稱矩陣，的秩為2，且.（1）求的特征值與特征向量;（2）求矩陣.解答：（1）由于的秩為2，故0是的一個特征值.由題設(shè)可得,所以，是的一個特征值，且屬于的特征向量為，為任意非零常數(shù)；也是的一個特征值，且屬于的特征向量為，為任意非零常數(shù).設(shè)是的屬于的特征向量，由于為實對稱矩陣，則，即第10頁太原理工大學(xué)2010級《線性代數(shù)》練習(xí)冊（五）于是屬于的特征向量為，為任意非零常數(shù).（2）令，則，于是5．已知二次型的秩為2,（1）求參數(shù)
8、及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值；（2）指出方程表示何種曲面.解答：二次型的矩陣,因為，所以（或者由得）.于是第1
