阿羅不可能定理

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1、阿羅不可能定理　　阿羅在運(yùn)用新的數(shù)學(xué)工具研究一般均衡理論，研究不確定條件下如何進(jìn)行最優(yōu)化決策，研究社會(huì)選擇理論的工作中，做出了突出貢獻(xiàn)。　　在為數(shù)不少的國人的心目中，選舉的意義恐怕就在于大家根據(jù)多數(shù)原則（majorityrule）通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。然而，通過選舉能否達(dá)到這個(gè)目的呢？　　1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者、美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅（K.Arrow）采用數(shù)學(xué)中的公理化方法，于1951年深入研究了這個(gè)問題，并得出在大多數(shù)情況下是否定的結(jié)論，那就是鼎鼎大名的“阿羅不可能定理（Arrow'simpossibilitytheorem）”?！　“⒘_遵

2、從經(jīng)濟(jì)學(xué)研究集體決策（groupdecision-making）和公共選擇（publicchoice）問題時(shí)的慣例，首先將個(gè)人投票視為每個(gè)獨(dú)立個(gè)體根據(jù)自己的偏好程度給各種備選方案從大到小排序，個(gè)體的偏好排序滿足下列要求：　　1、完全性（completivity）：對(duì)任意一對(duì)備選方案x、y，一個(gè)人喜歡x勝于y、喜歡y勝于x和對(duì)兩者同樣喜歡這三種情況必有其一?！　?、反身性（reflexivity）：任意一個(gè)備選方案至少和它自身一樣好?；蛘哒f，從同樣的偏好標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，一個(gè)人不能既喜歡又不喜歡同一個(gè)備選方案?！　?、傳遞性（transivity）：如果一個(gè)人喜歡x勝于

3、y，喜歡y勝于z，那么他應(yīng)該喜歡x勝于z；而且只有當(dāng)他喜歡x和y的程度相同，喜歡y和z的程度相同時(shí)，他才能同樣程度地喜歡x和z。　　顯而易見，對(duì)于一個(gè)正常人來說，這三個(gè)要求相當(dāng)合情合理，絕無過分之處。　　阿羅進(jìn)而將選舉視為一種規(guī)則，它能夠?qū)⒚總€(gè)個(gè)體表達(dá)的偏好次序綜合成整個(gè)群體的偏好次序，并滿足以下五個(gè)條件（即阿羅公理[Arrow'satoxism]）的要求：　　1、所有投票人就備選方案所想到的任何一種次序關(guān)系都是實(shí)際可能的?！　≡摴肀砻鳎哼x民對(duì)候選人的任何一種排序都是允許的，也就是每一位選民可以完全按照各自的意愿挑選自己中意的候選人?！　?、對(duì)任意一對(duì)備選方

4、案x、y，如果對(duì)于任何投票人都有x≥y，根據(jù)選舉規(guī)則就應(yīng)該確定x≥y；而且當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有投票人都有x=y時(shí)，根據(jù)選舉規(guī)則得到的最后結(jié)果才能取等號(hào)。　　該公理表明：全體選民的一致愿望必須得到尊重，同時(shí)每個(gè)選民的意愿也不能受到隨意的忽略，體現(xiàn)了選民的主權(quán)特性?！　?、對(duì)任意一對(duì)備選方案x、y，如果在某次投票的結(jié)果中有x＞y，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中x的位置保持不變或提前，則根據(jù)同樣的選舉規(guī)則得到的最終結(jié)果也應(yīng)包括x＞y?！　≡摴肀砻鳎喝绻羞x民對(duì)某位候選人的喜歡程度相對(duì)于其他候選人來說沒有降低，那么該候選人在選舉結(jié)果中的位置不會(huì)變化。　　4、

5、如果在兩次投票過程中，備選方案集合的子集中各元素的排序沒有改變，那么在這兩次選舉的最終結(jié)果中，該子集內(nèi)各元素的排列次序同樣沒有變化?！　≡摴肀砻鳎耗骋唤M候選人在選舉結(jié)果中的相對(duì)位置不會(huì)受除他們以外的其他候選人選舉地位變動(dòng)的影響，反映了無關(guān)候選人的獨(dú)立性。公理3和公理4結(jié)合在一起，說明候選人的選舉成績只取決于選民對(duì)他們作出的評(píng)價(jià)?！　?、不存在這樣的投票人，使得對(duì)于任意一對(duì)備選方案x、y，只要該投票人在選舉中確定x＞y，選舉規(guī)則就確定x＞y。　　該公理表明：不存在能夠僅憑個(gè)人意愿就決定選舉結(jié)果的獨(dú)裁者?！　?yīng)該說這五個(gè)條件也是一個(gè)公平、合理選舉的最起碼要求。然

6、而通過引入決定性集合（decisiveset，選民集合I的子集J稱為候選人x、y的決定性集合，如果對(duì)于任何一次投票，只要(x＞y)i，i∈J，選舉規(guī)則就確定x＞y。由公理2可以推出這樣的集合一定存在）和最小決定性集合概念以及相關(guān)引理的證明，阿羅令人驚訝地發(fā)現(xiàn)：在只有兩名候選人的情況下，采用簡單多數(shù)規(guī)則的選舉就能滿足上述的五個(gè)條件的要求；但在超過三名候選人的情況下，滿足前四個(gè)公理的選舉規(guī)則竟然違反第五個(gè)公理（本來選舉的目的就是讓大家作主，結(jié)果卻整出來個(gè)一言九鼎的“獨(dú)裁者”），因此不存在能同時(shí)滿足這五個(gè)條件的選舉規(guī)則！這個(gè)結(jié)論被稱為“阿羅不可能定理”，其確切表述如

7、下：　　當(dāng)至少有三名候選人和兩位選民時(shí)，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則?！　“⒘_還指出了多數(shù)規(guī)則的一個(gè)根本缺陷，那就是在實(shí)際決策中往往導(dǎo)致循環(huán)投票。例如，假設(shè)有A、B、C三人針對(duì)x、y、z三種選擇方案進(jìn)行投票，其投票次序如下表：　　表1　　　投票悖論　　投票者　對(duì)不同選擇方案的偏好次序　　A　　　　　x　　　　y　　　　z　　B　　　　　y　　　　z　　　　x　　C　　　　　z　　　　x　　　　y　　在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個(gè)人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好x勝于y，同樣大多數(shù)人也是偏好y勝于z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應(yīng)當(dāng)是可以傳遞的，即

8、大多數(shù)人偏好x勝于z。但實(shí)際上，大多數(shù)