阿羅不可能定理

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1、阿羅不可能定理　　阿羅在運(yùn)用新的數(shù)學(xué)工具研究一般均衡理論，研究不確定條件下如何進(jìn)行最優(yōu)化決策，研究社會選擇理論的工作中，做出了突出貢獻(xiàn)?！　≡跒閿?shù)不少的國人的心目中，選舉的意義恐怕就在于大家根據(jù)多數(shù)原則（majorityrule）通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。然而，通過選舉能否達(dá)到這個目的呢？　　1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者、美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅（K.Arrow）采用數(shù)學(xué)中的公理化方法，于1951年深入研究了這個問題，并得出在大多數(shù)情況下是否定的結(jié)論，那就是鼎鼎大名的“阿羅不可能定理（Arrow'simpossibilitytheorem）”?！　“⒘_遵

2、從經(jīng)濟(jì)學(xué)研究集體決策（groupdecision-making）和公共選擇（publicchoice）問題時的慣例，首先將個人投票視為每個獨(dú)立個體根據(jù)自己的偏好程度給各種備選方案從大到小排序，個體的偏好排序滿足下列要求：　　1、完全性（completivity）：對任意一對備選方案x、y，一個人喜歡x勝于y、喜歡y勝于x和對兩者同樣喜歡這三種情況必有其一。　　2、反身性（reflexivity）：任意一個備選方案至少和它自身一樣好。或者說，從同樣的偏好標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，一個人不能既喜歡又不喜歡同一個備選方案?！　?、傳遞性（transivity）：如果一個人喜歡x勝于

3、y，喜歡y勝于z，那么他應(yīng)該喜歡x勝于z；而且只有當(dāng)他喜歡x和y的程度相同，喜歡y和z的程度相同時，他才能同樣程度地喜歡x和z。　　顯而易見，對于一個正常人來說，這三個要求相當(dāng)合情合理，絕無過分之處?！　“⒘_進(jìn)而將選舉視為一種規(guī)則，它能夠?qū)⒚總€個體表達(dá)的偏好次序綜合成整個群體的偏好次序，并滿足以下五個條件（即阿羅公理[Arrow'satoxism]）的要求：　　1、所有投票人就備選方案所想到的任何一種次序關(guān)系都是實(shí)際可能的。　　該公理表明：選民對候選人的任何一種排序都是允許的，也就是每一位選民可以完全按照各自的意愿挑選自己中意的候選人?！　?、對任意一對備選方

4、案x、y，如果對于任何投票人都有x≥y，根據(jù)選舉規(guī)則就應(yīng)該確定x≥y；而且當(dāng)且僅當(dāng)對所有投票人都有x=y時，根據(jù)選舉規(guī)則得到的最后結(jié)果才能取等號。　　該公理表明：全體選民的一致愿望必須得到尊重，同時每個選民的意愿也不能受到隨意的忽略，體現(xiàn)了選民的主權(quán)特性?！　?、對任意一對備選方案x、y，如果在某次投票的結(jié)果中有x＞y，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中x的位置保持不變或提前，則根據(jù)同樣的選舉規(guī)則得到的最終結(jié)果也應(yīng)包括x＞y?！　≡摴肀砻鳎喝绻羞x民對某位候選人的喜歡程度相對于其他候選人來說沒有降低，那么該候選人在選舉結(jié)果中的位置不會變化?！　?、

5、如果在兩次投票過程中，備選方案集合的子集中各元素的排序沒有改變，那么在這兩次選舉的最終結(jié)果中，該子集內(nèi)各元素的排列次序同樣沒有變化?！　≡摴肀砻鳎耗骋唤M候選人在選舉結(jié)果中的相對位置不會受除他們以外的其他候選人選舉地位變動的影響，反映了無關(guān)候選人的獨(dú)立性。公理3和公理4結(jié)合在一起，說明候選人的選舉成績只取決于選民對他們作出的評價。　　5、不存在這樣的投票人，使得對于任意一對備選方案x、y，只要該投票人在選舉中確定x＞y，選舉規(guī)則就確定x＞y。　　該公理表明：不存在能夠僅憑個人意愿就決定選舉結(jié)果的獨(dú)裁者?！　?yīng)該說這五個條件也是一個公平、合理選舉的最起碼要求。然

6、而通過引入決定性集合（decisiveset，選民集合I的子集J稱為候選人x、y的決定性集合，如果對于任何一次投票，只要(x＞y)i，i∈J，選舉規(guī)則就確定x＞y。由公理2可以推出這樣的集合一定存在）和最小決定性集合概念以及相關(guān)引理的證明，阿羅令人驚訝地發(fā)現(xiàn)：在只有兩名候選人的情況下，采用簡單多數(shù)規(guī)則的選舉就能滿足上述的五個條件的要求；但在超過三名候選人的情況下，滿足前四個公理的選舉規(guī)則竟然違反第五個公理（本來選舉的目的就是讓大家作主，結(jié)果卻整出來個一言九鼎的“獨(dú)裁者”），因此不存在能同時滿足這五個條件的選舉規(guī)則！這個結(jié)論被稱為“阿羅不可能定理”，其確切表述如

7、下：　　當(dāng)至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則?！　“⒘_還指出了多數(shù)規(guī)則的一個根本缺陷，那就是在實(shí)際決策中往往導(dǎo)致循環(huán)投票。例如，假設(shè)有A、B、C三人針對x、y、z三種選擇方案進(jìn)行投票，其投票次序如下表：　　表1　　　投票悖論　　投票者　對不同選擇方案的偏好次序　　A　　　　　x　　　　y　　　　z　　B　　　　　y　　　　z　　　　x　　C　　　　　z　　　　x　　　　y　　在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好x勝于y，同樣大多數(shù)人也是偏好y勝于z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應(yīng)當(dāng)是可以傳遞的，即

8、大多數(shù)人偏好x勝于z。但實(shí)際上，大多數(shù)