自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)與證明 新課標(biāo)

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1、自然數(shù)平方和公式的推導(dǎo)與證明新課標(biāo)12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中數(shù)學(xué)中是用數(shù)學(xué)歸納法證明的一個命題，沒有給出其直接的推導(dǎo)過程。其實，該求和公式的直接推導(dǎo)并不復(fù)雜，也沒有超出初中數(shù)學(xué)內(nèi)容。???設(shè)：S=12+22+32+…+n2???另設(shè)：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步設(shè)題是解題的關(guān)鍵，一般人不會這么去設(shè)想。有了此步設(shè)題，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n

2、+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展開為(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以寫為：S1=12+32+52…+(2n-1

3、)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)+(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22

4、×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)與(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n?????=n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]?????=n(2n2+3n+1)

5、?????=n(n+1)(2n+1)????S=n(n+1)(2n+1)/6亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然數(shù)平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(2)得自然數(shù)偶數(shù)平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(3)得自然數(shù)奇數(shù)平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最后一位自然數(shù)。???????????????????由自然數(shù)平方和

6、公式推導(dǎo)自然數(shù)立方和公式設(shè)S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)由(1)+(2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13???????????????=(n+1)(n2-n+1)???????????????????+??????????????(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)???????????????????+?????

7、?????????(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)???????????????????+???????????????????.???????????????????.???????????????????.???????????????????+??????????????(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+n2)即2S=(n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-…-n(n-n+1)]………………...(3)由12+22+32+…+n2=n(n

8、+1)(2n+1)/6代入(2)得：2S=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]?=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]?=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+(n-1)]?=(