自然數(shù)的平方和公式的推導(dǎo)方法總結(jié)

《自然數(shù)的平方和公式的推導(dǎo)方法總結(jié)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、自然數(shù)的平方和公式的推導(dǎo)方法總結(jié)自然數(shù)的平方和就是，它的結(jié)果是。對(duì)于這一結(jié)論的推導(dǎo)，方法多種多樣，現(xiàn)將我所知道的方法一一總結(jié)如下，與大家共享。方法一：設(shè)數(shù)列，其中，則的一階差數(shù)列記為，其中，首項(xiàng)為；的二階差數(shù)列記為，其中，首項(xiàng)為；的三階差數(shù)列記為，其中，首項(xiàng)為；于是我們可知數(shù)列為三階等差數(shù)列。于是我們應(yīng)用下面方法求可求出數(shù)列的通項(xiàng)。=5+=5+2+2+……+2=亦知當(dāng)時(shí)亦有，故有=4+==亦知當(dāng)時(shí)亦有。故有=1+=知當(dāng)時(shí)亦有故有==。點(diǎn)評(píng)：在上面的推導(dǎo)方法中，首先對(duì)組合數(shù)的定義進(jìn)行了推廣，規(guī)定。這樣的推廣對(duì)于組合數(shù)的性質(zhì)并無(wú)影響。即對(duì)于n

2、用的組合數(shù)都是推廣后的組合數(shù)）于是我們有；。另外，此種證法關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)三階等差數(shù)列，從而應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)導(dǎo)出其通項(xiàng)。如果我們將這一問題稍做推廣，就會(huì)得到k階等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一般形式，即。其中表示數(shù)列的階差數(shù)列的首項(xiàng)。如果進(jìn)一步推廣，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)列為k階等差數(shù)列的一個(gè)充要條件是數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)關(guān)于n的k次多項(xiàng)式。于是我們應(yīng)用這一結(jié)論，就會(huì)得到證法二。證法二：設(shè)數(shù)列，其中，則由（1）知數(shù)列是一個(gè)3階等差數(shù)列，所以設(shè)。又因，于是解得所以。點(diǎn)評(píng)：上面應(yīng)用的方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)數(shù)列為三階等差數(shù)列。證法三：。所以==。點(diǎn)評(píng)：此種證法是一次公開課中，由李

3、愛廷老師提出的一種證法。此種證法很簡(jiǎn)潔，關(guān)鍵在于對(duì)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆纸?，從而?yīng)用組合數(shù)性質(zhì)，對(duì)公式進(jìn)行了證明。此種證法還可繼續(xù)推廣，用于證明更多的問題。如則=。=；則==。上面的證法關(guān)鍵都在于對(duì)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)牟鸱?，然后?duì)重新進(jìn)行組合、合并。而這些能力也恰巧是我們代數(shù)運(yùn)算中的基本功。證法四：因?yàn)樗?=1*n+3*(n-1)+5*(n-2)+……+(2k-1)(n-k+1)+……+(2n-1)*1(1)其中(2k-1)(n-k+1)=于是（1）=所以3（）=解得==。點(diǎn)評(píng)：此證法源于周沛耕老師的應(yīng)用一文。此證法靈活應(yīng)用了已知的公式，對(duì)進(jìn)行拆分，重組，并應(yīng)用到了方程的思想

4、。值得注意的是此證法也具有良好的推廣價(jià)值。詳見《數(shù)學(xué)興趣與創(chuàng)造力》一書。證法四：利用立方和公式可得=于是有…………將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有設(shè)S=,則解得點(diǎn)評(píng)：此種證法應(yīng)用了立方差公式，從而構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于的等式，應(yīng)用方程的思想證明了結(jié)論。證法更加簡(jiǎn)單。證法一與證法三都用到了組合數(shù)的性質(zhì)，而證法二其實(shí)是應(yīng)用了證法一的結(jié)論：數(shù)列為k階等差數(shù)列的一個(gè)充要條件是數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)關(guān)于n的k次多項(xiàng)式。證法四、五有點(diǎn)新意，但就其證明關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)說(shuō)，又與證法三，證法一有相同之處，就是對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?，重組。由此可見對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行拆分，重組是代數(shù)的一種基本的運(yùn)算能力，掌握了這一

5、種運(yùn)算能力，才算真正掌握了“通解通法”。另外，以上證法都是應(yīng)用的初等數(shù)學(xué)的方法，如果應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的積分等知識(shí)，我們是否會(huì)有更好，更有一般的證法呢？希望讀者能夠繼續(xù)探索下去，一座知識(shí)的寶庫(kù)或許將為你開放。。