資源描述：
《自然數(shù)冪和公式推導(dǎo)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、自然數(shù)冪和作者：張明龍2018.05【摘要】本文開始先推導(dǎo)或者說(shuō)證明了自然數(shù)冪和的公式形式，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了公式系數(shù)，并給出簡(jiǎn)化的自然數(shù)冪和公式形式。后通過推導(dǎo)得到公式系數(shù)之間的橫向遞推公式，利用伯努利數(shù)的特性推導(dǎo)得到公式系數(shù)之間的縱向遞推公式。橫向遞推公式是直接計(jì)算自然數(shù)?次冪和公式的方法；縱向遞推公式是由自然數(shù)k次冪和公式計(jì)算自然數(shù)?+1次冪和公式的方法。最后簡(jiǎn)單給出積分式、矩陣式公式?！娟P(guān)鍵字】組合積和、冪三角、Y數(shù)列、積分式、矩陣式【準(zhǔn)備知識(shí)】1.無(wú)特別說(shuō)明，本文中的小寫字母都表示自然數(shù)（N）。2.排列??=∏?(???+1)=?(??1)(??2)?(??
2、?+1)????約定：??=1?3.組合??=?!/[?!(???)!]?約定：?>?時(shí)，??=0?4.組合公式???=(?+1)?????(?+1)??(1)???????????????=????+??(2)???????+??+??+?+??=????(3)???????5.記??=∑???=1?+2?+3?+?+??????????S?=?+?(4)????=???+???+??(5)??????=???+???+???(6)????【組合積和??】?設(shè)(?+1)(?+2)(?+3)?(?+?)=∑???????。其中??稱為組合積和，可看作韋達(dá)定理的特例。??
3、???顯然有??=??(7)????=?!(8)???=1(9)?當(dāng)?>?時(shí)，??=0(10)?也顯然有遞推公式：????=????+(?+1)??(11)?????1由(7)、(8)、(9)和(11)式就可以計(jì)算出??的值，如表1。???=1表1.組合積和??（部分）????=0???mn1234561123236116410355024515852252741206211757351624176472072832219606769131321306883654645362244967284118124945870945063273269325723680105513
4、201815015777390205534169301166192532670357423263755813339535127827175577074946369266344499023113913731910911474473166696531350364731410550051433252749747373122753684116151512065802184004899622785584809280957401613685003236808394022156952432218503142017153108124681801389658229965080648532
5、227641817113566662796223238225497892821024693727219190168159205503491694697394190020692933630nm789101112750408109584403209117270010265763628801084095001186590610628640362880011459957301043704061322769061205438403991680012206070150656319166138472177816069570121486442880479001600【冪三角??】?冪三
6、角??定義為：???=1，??=????=0????(12)????=(?+1)????+(?+1??)??(?=0,1,2,??)?????易得??=1???=1?由??的定義可以計(jì)算出??的值，如表2。??2??=0表2.冪三角??（部分）????=0???ki12345611211314141111115126662616157302302571711201191241611911208124742931561915619429391502146088823415619088234101101347840455192131035413103541112036152
7、6372203488973811415724248ki78910111271824719146085021104551924784010131119738114220348815263720361下面證明冪三角的幾個(gè)重要性質(zhì)。1.??=??????(13)??證明：①當(dāng)?=1，2；?=1時(shí)，Z?=1=Z?????，Z?=0=Z?????????即此時(shí)，原式成立。②假設(shè)?=?，?+1(?≥1)；?=?(?≥1)時(shí)，原式成立，即??????????????=??，??=??則?????????????=(?+1)??+(?+1??)??(利用
