自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)

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1、我們把S(n)拆成數(shù)字排成的直角三角形：1223334444……nn……n這個(gè)三角形第一行數(shù)字的和為12，第二行數(shù)字和為22，……第n行數(shù)字和為n2，因此S(n)可以看作這個(gè)三角形里所有數(shù)字的和接下來我們注意到三角形列上的數(shù)字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n這些列的數(shù)字和可以用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和來算出，但是它們共性不明顯，無法加以利用如果求的數(shù)字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1這樣的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一樣算出

2、結(jié)果，那么該怎樣構(gòu)造出這樣的列數(shù)字呢注意上面那個(gè)直角三角三角形空缺的部分，將它補(bǔ)全成一個(gè)正方形的話，是這樣的：111……1222……2333……3444……4……nnn……n這個(gè)正方形所有的數(shù)字和為n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我們補(bǔ)上的數(shù)字是哪些呢？111……1(n-1)個(gè)的122……2(n-2)個(gè)的23……3(n-3)個(gè)的3………n-1又一個(gè)直角三角形，我們只需算出這個(gè)三角形的數(shù)字和T(n)，再用剛才算的正方形數(shù)字和減去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n

3、)。而這個(gè)三角形的每一列數(shù)字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，這個(gè)三角形第n列的數(shù)字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相當(dāng)于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]將各個(gè)擴(kuò)號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別相加，得T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2=S(n-1)/2+(n

4、-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是說，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2……①因?yàn)镾(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n

5、2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面這個(gè)式子就是我們熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一種經(jīng)典的方法設(shè)：S=12+22+32+…+n2另設(shè)：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步設(shè)題是解題的關(guān)鍵，一般人不會(huì)這么去設(shè)想。有了此步設(shè)題，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(

6、n+n)2可以展開為(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以寫為：S1=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12

7、+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)+(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1

8、+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)與(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n=n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]=n(2n2+3n+1)=n(n+1)(2n+1)S=