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《自然數(shù)平方和公式的推導(dǎo)與證明》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、※自然數(shù)之和公式的推導(dǎo)法計算1，2，3，…，n，…的前n項的和：由??1??+??2??+…+n-1??+?n????n??+?n-1?+…+?2???+?1????（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法”※等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo) 一般地，稱為數(shù)列的前n項的和，用表示，即 1、?思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示：??①②由①+②，得??????????????????????由此得到等差數(shù)列的前n項
2、和的公式對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。 2、?除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）當然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：??=??????????????????????=??????????????????????=??????????????????????= 這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個
3、內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道和n，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。自然數(shù)平方和公式的推導(dǎo)與證明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中數(shù)學(xué)中是用數(shù)學(xué)歸納法證明的一個命題，沒有給出其直接的推導(dǎo)過程。其實，該求和公式的直接推導(dǎo)并不復(fù)雜，也沒有超出初中數(shù)學(xué)內(nèi)容。???一、設(shè)：S=12+22+32+…+n2另設(shè)：S1=12
4、+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步設(shè)題是解題的關(guān)鍵，一般人不會這么去設(shè)想。有了此步設(shè)題，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展開為(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+
5、2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以寫為：S1=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)+(22×22-2×
6、2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)與(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(
7、1+2+3+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n?????=n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]?????=n(2n2+3n+1)?????=n(n+1)(2n+1)??S=n(n+1)(2n+1)/6亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然數(shù)平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(2)得自然數(shù)偶數(shù)平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最后一位
8、自然數(shù)。由(5)代入(3)得自然數(shù)奇數(shù)平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最后一位自然數(shù)。二、由自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)自然數(shù)立方和公式設(shè)S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13………
