兼容并包 兼收并蓄

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1、兼容并包兼收并蓄"單位圓定義法"與"終邊定義法"本質(zhì)上是一致的，采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分．三角函數(shù)的兩種定義方法都是可行的，我們沒必要非要分出孰優(yōu)孰劣，我們大可以采取"兼容并包兼收并蓄"的態(tài)度來提高對三角函數(shù)定義及三角函數(shù)的認識。從映射的角度來開展三角函數(shù)定義的教學(xué)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在具體的教學(xué)實踐中它可以很好的幫助學(xué)生解決已知一個角的中邊上的一點的坐標(biāo)來求這個角的的三角函數(shù)值的問題，和理解參數(shù)方程。從這一點來看，利用角的終邊上任意一點的坐標(biāo)出發(fā)來定義三角函數(shù)更好一些。為什么要學(xué)習(xí)利用單位圓來定義三角函數(shù)？用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意

2、角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點，可以使抽象的問題變得直觀，使學(xué)生能夠深入淺出地理解三角函數(shù)的一些性質(zhì)，主要體現(xiàn)以下方面。１、簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用"單位圓定義法"，對于任意角?，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標(biāo)y──正弦；角（弧度）對應(yīng)于點P的橫坐標(biāo)x──余弦?？梢缘玫椒浅Ｇ宄?、明確的表示，而且這種表示也是簡單的。另外，"x=cos?，y=sin?是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表

3、述"，其中，單位圓上點的坐標(biāo)隨著角?每隔2π（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性。"終邊定義法"需要經(jīng)過"取點──求距離──求比值"等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；"比值"作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰；"從角的集合到比值的集合"的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的"數(shù)集到數(shù)集"的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且"比值"需要通過運算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點的選取無關(guān)）也需要證明；"比值"的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學(xué)實踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

4、不甚了了，與"終邊定義法"的這些問題不無關(guān)系。２、有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)。"單位圓定義法"以單位圓為載體，自變量?與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。在學(xué)習(xí)弧度制時，學(xué)生對引進弧度制的必要性較難理解。"單位圓定義法"可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點

5、的坐標(biāo)（也是實數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點）被纏繞到單位圓上的點P(cos，sin)。３、符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史。三角函數(shù)發(fā)展史表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為"圓函數(shù)"。所以，采用"單位圓定義法"能更真實地反映三角函數(shù)的發(fā)展進程。早在古希臘時代，人們就知道"相似三角形的對應(yīng)邊成比例"，這

6、是三角函數(shù)的根源,也是其本質(zhì)所在,所以三角函數(shù)起源于幾何中的邊角關(guān)系。三角函數(shù)的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。到了近代,人們將三角函數(shù)作為一般的函數(shù)來研究它們的代數(shù)性質(zhì)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮無窮級數(shù)或微分方程的解，將其定義擴展到復(fù)數(shù)系。映射也是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，是人們思考問題時一種非常重要的對應(yīng)關(guān)系。４、有利于后續(xù)學(xué)習(xí)。前已述及，"單位圓定義法"使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)。不僅如此，這一定義還能為"兩角和與差的三角函數(shù)"

7、的學(xué)習(xí)帶來方便，因為和（差）角公式實際上是"圓的旋轉(zhuǎn)對稱性"的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述。另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學(xué)習(xí)帶來方便。例如，重要極限幾乎就是定義的一個"推論"。"單位圓定義法"與"終邊定義法"都能很好的體現(xiàn)三角函數(shù)值在各象限的符號，誘導(dǎo)公式的研究實質(zhì)上是通過直角坐標(biāo)系中點的對稱性來進行的，而對三角函數(shù)的性質(zhì)的研究最好還是利用三角函數(shù)的圖像來進行，它體現(xiàn)了研究函數(shù)性質(zhì)的一般程序方法，同時能使學(xué)生回顧復(fù)習(xí)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，加深對它的理解。這才是性質(zhì)教學(xué)的根本。在教學(xué)中，我