兼容并包 兼收并蓄

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1、兼容并包兼收并蓄"單位圓定義法"與"終邊定義法"本質上是一致的，采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分．三角函數的兩種定義方法都是可行的，我們沒必要非要分出孰優(yōu)孰劣，我們大可以采取"兼容并包兼收并蓄"的態(tài)度來提高對三角函數定義及三角函數的認識。從映射的角度來開展三角函數定義的教學，可以有效培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。在具體的教學實踐中它可以很好的幫助學生解決已知一個角的中邊上的一點的坐標來求這個角的的三角函數值的問題，和理解參數方程。從這一點來看，利用角的終邊上任意一點的坐標出發(fā)來定義三角函數更好一些。為什么要學習利用單位圓來定義三角函數？用單位圓上點的坐標定義任意

2、角的三角函數有許多優(yōu)點，可以使抽象的問題變得直觀，使學生能夠深入淺出地理解三角函數的一些性質，主要體現(xiàn)以下方面。１、簡單、清楚，突出三角函數最重要的性質──周期性．采用"單位圓定義法"，對于任意角?，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數中自變量與函數值之間的對應關系，即角（弧度）對應于點P的縱坐標y──正弦；角（弧度）對應于點P的橫坐標x──余弦?？梢缘玫椒浅Ｇ宄⒚鞔_的表示，而且這種表示也是簡單的。另外，"x=cos?，y=sin?是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數的基本性質就是圓的幾何性質（主要是對稱性）的解析表

3、述"，其中，單位圓上點的坐標隨著角?每隔2π（圓周長）而重復出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數的周期性。"終邊定義法"需要經過"取點──求距離──求比值"等步驟，對應關系不夠簡潔；"比值"作為三角函數值，其意義（幾何含義）不夠清晰；"從角的集合到比值的集合"的對應關系與學生熟悉的一般函數概念中的"數集到數集"的對應關系不一致，而且"比值"需要通過運算才能得到，任意一個角所對應的比值的唯一性（即與點的選取無關）也需要證明；"比值"的周期性變化規(guī)律也需要經過推理才能得到．以往的教學實踐表明，許多學生在結束了三角函數的學習后還對三角函數的對應關系

4、不甚了了，與"終邊定義法"的這些問題不無關系。２、有利于構建任意角的三角函數的知識結構。"單位圓定義法"以單位圓為載體，自變量?與函數值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數形結合的思想討論三角函數的定義域、值域、函數值符號的變化規(guī)律、同角三角函數的基本關系式、誘導公式、周期性、單調性、最大值、最小值等。在學習弧度制時，學生對引進弧度制的必要性較難理解。"單位圓定義法"可以啟發(fā)學生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數就是以實數（弧度數）為自變量，以單位圓上點

5、的坐標（也是實數）為函數值的函數，這就與函數的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來理解三角函數中自變量與函數值之間的對應關系：把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數（點）被纏繞到單位圓上的點P(cos，sin)。３、符合三角函數的發(fā)展歷史。三角函數發(fā)展史表明，任意角的三角函數是因研究圓周運動的需要而產生的，數學史上，三角函數曾經被稱為"圓函數"。所以，采用"單位圓定義法"能更真實地反映三角函數的發(fā)展進程。早在古希臘時代，人們就知道"相似三角形的對應邊成比例"，這

6、是三角函數的根源,也是其本質所在,所以三角函數起源于幾何中的邊角關系。三角函數的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。到了近代,人們將三角函數作為一般的函數來研究它們的代數性質?，F(xiàn)代數學把它們描述成無窮無窮級數或微分方程的解，將其定義擴展到復數系。映射也是貫穿高中數學的一條主線，是人們思考問題時一種非常重要的對應關系。４、有利于后續(xù)學習。前已述及，"單位圓定義法"使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論三角函數的性質和圖像奠定了很好的直觀基礎。不僅如此，這一定義還能為"兩角和與差的三角函數"

7、的學習帶來方便，因為和（差）角公式實際上是"圓的旋轉對稱性"的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述。另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學習帶來方便。例如，重要極限幾乎就是定義的一個"推論"。"單位圓定義法"與"終邊定義法"都能很好的體現(xiàn)三角函數值在各象限的符號，誘導公式的研究實質上是通過直角坐標系中點的對稱性來進行的，而對三角函數的性質的研究最好還是利用三角函數的圖像來進行，它體現(xiàn)了研究函數性質的一般程序方法，同時能使學生回顧復習研究函數的性質的方法，加深對它的理解。這才是性質教學的根本。在教學中，我