“數(shù)形結(jié)合”在解數(shù)學(xué)壓軸題中作用)

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1、“數(shù)形結(jié)合”在解數(shù)學(xué)壓軸題中的作用一般性數(shù)學(xué)試卷的最后一題在測試學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，本著適度區(qū)分的原則，最后一題的三個小題的坡度逐漸提升，達(dá)到分層的效果．這些試題一般性取材于課本但高于課本，強(qiáng)調(diào)知識的靈活運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，原創(chuàng)題較少，大多屬于改編體，它們的基本圖形在幾何畫板中加以研究，達(dá)到推陳出新的效果，絕大多數(shù)屬于改編題．下面以08年靜安、楊浦兩區(qū)模擬考最后一題為例，進(jìn)行歸納分析．它們的難度略低于中考的壓軸題．例1．（08靜安）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，點(diǎn)E在邊BA的延長線上

2、，AE=2，點(diǎn)F在BC邊上，EF與邊AD相交于點(diǎn)G，DF⊥EF，設(shè)AG=x,DF=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）當(dāng)AD=11時，求AG的長；（3）如果半徑為EG的⊙E與半徑為FD的⊙F相切，求這兩個圓的半徑．分析：本題以直角梯形為載體，第1小題梯形結(jié)合相似形知識來研究兩條線段的數(shù)量關(guān)系，探求函數(shù)關(guān)系式和定義域;第2小題在研究特殊情況下知道函數(shù)值A(chǔ)D=11求自變量AG的值，第三小題結(jié)合圓的內(nèi)容以兩圓相切（外切和內(nèi)切）這一知識點(diǎn)來壓軸．其實(shí)如果學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，利用兩圓相切關(guān)系建立等式：當(dāng)⊙E與⊙F外切時，EF=E

3、G+FD=EG+FG，當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時，EF=FD–EG，相關(guān)的量都用含自便量的代數(shù)式來表示，從而利用關(guān)系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出兩個圓的半徑，考察了方程思想．略解：（1）∵AD//BC，∠B=90o，∴∠EAG=∠B=90o，∴EG=∵∴FG=．∵∠DFG=∠EAG=90o，∠EGA=∠DGF，∴△DFG∽△EAG．∴，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，定義域?yàn)椋?）∵△DFG∽△EAG，∴∴GD=．當(dāng)AD=11時，，．經(jīng)檢驗(yàn)它們都是原方程的根，且符合題意，所以AG的長為1或．（3）當(dāng)⊙E與⊙F外切時，EF=E

4、G+FD=EG+FG，∴FD=FG，∵△DFG∽△EAG，∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．∴AG=AE=2；∴⊙E的半徑EG=，⊙F的半徑FD=．當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時，EF=FD–EG，∴3，∴∴⊙E的半徑EG=，⊙F的半徑FD=．所以⊙E的半徑為2，⊙F的半徑為4；或⊙E的半徑為，⊙F的半徑為4．例2．（08楊浦）如圖，Rt△ABO在直角坐標(biāo)系中，∠ABO=900，點(diǎn)A（-25，0），∠A的正切值為，直線AB與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將△ABO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在x軸正半軸上的B/處。試在直角坐標(biāo)系中

5、畫出旋轉(zhuǎn)后的△A/B/O，并寫出點(diǎn)A/的坐標(biāo)；（3）在直線OA/上是否存在點(diǎn)D，使△COD與△AOB相似，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．分析：本題以直線(一次函數(shù))為載體，它與坐標(biāo)軸的結(jié)合鑲嵌了母子直角三角形在內(nèi)，結(jié)合三角比知識求點(diǎn)B的坐標(biāo)就構(gòu)成了第一小題;第二小題結(jié)合我們上?？碱}的一貫特色，圖形三大運(yùn)動之一旋轉(zhuǎn)來考察學(xué)生的畫圖能力，直接寫出坐標(biāo)則秉承了上海06年中考24題的一貫分格，只不過06年的24題以二次函數(shù)為載體；第三小題則結(jié)合了相似形只是考察分類討論的數(shù)學(xué)思想和方程思想．其實(shí)這種習(xí)題如果學(xué)生留意一下,就會

6、成為傻瓜題,不管是否結(jié)合坐標(biāo)系背景,只要是文字語言敘述的存在性問題,都會保證一個字母相同(提供一個相等的角)分兩種情況；如果沒有相同字母時一定會隱藏相等的叫在里面，分類討論的方法相同,如挖掘出∠A=∠COA/當(dāng)或時,第1、2比例項(xiàng)不變，第3、第4比例項(xiàng)調(diào)換位置，最多時有三個答案．略解：（1）易得B（－16，12）（2）正確畫圖A/（20，15）（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，∴OC=設(shè)OA/的解析式為y=kx，則15=20k，則k=，∴y=x∵△ABO旋轉(zhuǎn)至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/，∵∠AOB+∠A=9

7、00，∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/∴在直線OA/上存在點(diǎn)D符合條件，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x），則OD=1)當(dāng)即，也即x=16時，△COD與△AOB相似，此時D（16，12）2)當(dāng)即，即x=時△COD與△AOB相似，此時D（）．1．對于兩類壓軸題的對比分析圖形(1)(2)共同點(diǎn)代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)不同以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系以數(shù)為平臺，研究形的特征點(diǎn)通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式通過方程思想確定點(diǎn)的坐標(biāo)或函數(shù)關(guān)系式研究特殊

8、情況下的函數(shù)值研究特殊圖形的存在性我市今年各區(qū)最后兩題均屬于一道以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系、一道以數(shù)為平臺，研究形的特征，這也和最近兩年中考題最后兩題吻合．2．習(xí)慣于思考試題編制方法與策略要結(jié)合想考察的內(nèi)容，有針對性地選好起點(diǎn)題，這個起點(diǎn)題可以是課本