多尺度法初識和應用

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1、多尺度法初識和應用摘要：簡要介紹多重尺度發(fā)的中心思想，另外，舉例說明多重尺度法在求解方程中的應用。非線性問題的研宄非線性問題的"個性"很強，處理起來十分棘手。歷史上曾有過一些解非線性方程的"精品"，但與大量存在的非線性方程相比，只能算是"鳳毛麟角"。因此，長期以來，對非線性問題的研究一直分散在自然科學和技術科學的各個領域。本世紀六十年代以來，情況發(fā)生了變化。人們幾乎同吋從非線性系統(tǒng)的兩個極端方向取得了突破：一方面從可積系統(tǒng)的一端，即從研宂多自由度的非線性偏微分方程的一端獲得重大進展。如在淺水波方程屮發(fā)現(xiàn)了"孤子"，發(fā)展起一套系統(tǒng)的數(shù)學方法，如反散射法，貝克隆變換等，

2、對一些類型的非線性方程給出了解法：另一方而，從不可積系統(tǒng)的極端，如在天文學、生態(tài)學等領域對一些看起來相當簡單的不可積系統(tǒng)的研究，都發(fā)現(xiàn)了確定性系統(tǒng)屮存在著對初值極為敏感的雜運動。促成這種變化的一個重要原因十計算機的山現(xiàn)和廣泛應用。科學家們以計算機為手段，勇敢地探索那些過去不能用解析方法處理的非線性問題，從中發(fā)掘出規(guī)律性的認識,并打破了原有的學科界限，從共性、普適性方面來探討非線性系統(tǒng)的行為。線性與非線性的意義"線性〃與〃非線性〃是兩個數(shù)學名詞。所謂〃線性〃是指兩個量之間所存在的正比關系。若在直角坐標系上畫出來，則是一條直線。巾線性函數(shù)關系描述的系統(tǒng)叫線性系統(tǒng)。在線性

3、系統(tǒng)屮，部分之和等于整體。描述線性系統(tǒng)的方程遵從焭加原理，即方程的不同解加起來仍然是原方程的解。這是線性系統(tǒng)最本質的特征之一。"非線性〃是指兩個量之間的關系不是"直線〃關系，在直角坐標系中呈一條曲線。最簡單的非線性函數(shù)是一元二次方程即拋物線方程。簡單地說，一切不是一次的函數(shù)關系，如一切高于一次方的多項式函數(shù)關系，都是非線性的。由非線性闌數(shù)關系描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。多尺度法的基本思想#+/(士0多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的，此后得到進一步的發(fā)展。上面介紹該法的基本思想與方法。我們考慮形式為的方

4、程所控制的系統(tǒng)，設方程的解為Q=Qo=Qo+…將原點移至中心位置9=A)是合適的。于是有x~Q~Qq此時第一式可寫成x+/(x+^o)=O假設/可以展為泰勒級數(shù)，則上式可寫為Nx+^anxn=Q其中n=l而/(/?)表示關于自變量的/?階導數(shù)，對于中心，/G/o)=o，而/w⑹〉0我們可以把方程的解看成是多個自變量的函數(shù)，而不是一個自變量的函數(shù)。也就是們可以把％看成是f和打，…，的函數(shù)。多尺度法的基本思想是，將表示響應的展開式考慮成為多個自變量(或多個尺度)的函數(shù)。Tn=e"t(n=0,1,2,???)即r()=tT{=etT2=￡2t…因此關于f的導數(shù)變成丫關于的

5、偏導數(shù)的展開式，即d7；dAtdTx+-=D0+6-D,+???=Dq+2fD()D丨+￡*2(Df+2D()D9—然后代入方程進行求解，求出七，％2，％3，**?。這時，方程的解可寫成：然后按照小參數(shù)法(攝動法)建立f的各階方程，進而求出七，又2，七，???多重尺度法的應用一、求解自治系統(tǒng)例1.4.1求Duffing方程(1.1.4)X+X=—￡*x3(690=1)自由振動的二次近似解(用多尺度法)解：求二次近似解可選三個變量，設代入原方程，并用到式(1.4.3),可得到下列方程組+x0=0(1.4.4a)32x,_o3233^+X^~23^~X°dT022dTo

6、d7；dTodT2d”01(1.4.4b)(1.4.4c)設式(1.4.4a)的解為x0=A(T^T2)exp(zT0)+Aexp(-zT0)其中A是未知復函數(shù)，A是A的共軛。用復數(shù)形式表示是為了運算方便。把xQ代入式(1.4.4b)?qp(/7J)-A3exp(i3T0)+cc其中CC表示前面各項的共輒。為使xl,不出現(xiàn)永年項，必須2/-^-+3A2A=O(1.4.4d)又求得x,=—A3exp(/3T0)+cc8代入(1.4.4c)，并利用條件(1.4.4d),有32x2w+x221—3expOT0)-—A4/lexp(/3r0)--A5exp(5fT0)+cc

7、消除永年項2/dT28A3A2=0(1.4.4e)21X264A4Aexp(/3ro)-丄A5exp(5zT0)+64cc利用式(1.4.4d),(1.4.4e)求A(T1，T2)如下:由(1.4.4d)dT2由(1.4.4c)Uw2ar916=0dA利用式（1.4.3a）并注意到,就得到令⑽其中M是t的實函數(shù)’將之代入上式有實、虛部展開，8256積分得a—cIq■215(p=-￡Cl18256￡2aA為積分常數(shù)，所以A=-a0exp?,3?15o4.lkea+l(PoOZJO于是，原方程二階近似解為6ZqCOS//H￡*6Zq(1ECLq)COS3l/