二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu)

《二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性常系數(shù)微分太程的解的求法二階線性常微分方程：y〃+p(x)/+q(x)y=r(x>p(x>、q(x>、r(x>是區(qū)間I上的己知函數(shù)y〃+p(x}y'+q(x>y=O齊次y"+p(x)/+q(x)y=r(x),r(x)#O,非齊次【一】對(duì)齊次方程:y〃+p(x)y'+q(x)y=O1.若yi(x)和y2(x)都是上述齊次方程的解，則Ciyi(x)+C2y2(x)仍是上述方程的解.2?若y!⑻和y2(x)在區(qū)間I上線性無(wú)關(guān)，即ay1(x)+py2(x)=0僅當(dāng)a=p=O時(shí)成立,Ijjijy=Ciyi(x)+C2y2(x)即是y〃+p(x}

2、y'+q(x)y=O的通解?！緔〃+p(xh<+q(x)y=O的任何一個(gè)解可表示成(x)的形式】由上述1和2,求y"+p(x)y'+q(x)y=O的通解，只需找到兩個(gè)K兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.【二】對(duì)非齊次方程：y"+p(x)/+q(x)y=r(x),r(x)#Oy*(x)是艽一y"+p(x)y'+q(x)y=r(x)，r(x)#O的一個(gè)特解丫(x)是對(duì)應(yīng)齊次方程y〃+p{x}y'+q(x)y=O的某個(gè)解則1)y*"+py*'+qy*=r2)y"+py'+qy=r兩式相減:(y-y*)"+p(y-y”'+q(y-y”=o記Y=y-y*,則丫是對(duì)應(yīng)齊次方程y〃+p(x}y'+

3、q(x)y=O的通解y=y*+Y即：y〃+p(x}y'+q(x>y=r(x}，r(x)#O的任何一個(gè)解y(x)都可以表示為：y(x)=y*(x)+Y(x)W：非齊次方程的通解=非齊次方程的一個(gè)特解+對(duì)應(yīng)其次方程的通解.如何求二階線性常系數(shù)齊次微分方程y-+p(x)y^q(x)y=O的通解？設(shè)yM是y〃+p(x)y'+q(x)y=O的解，p、q均為常數(shù)則在I內(nèi)y〃M+py'(x)+qy(x}=0,恒成立所以ypy'、qy必須能夠抵消掉，即y、y'、y〃必須是同一類型的蚋數(shù).只能是指數(shù)函數(shù)令y=#是方程y〃+p/+qy=o(p、q為常數(shù))的解即(k2+/?々+g)eLx=

4、0,可得眾2++g=0k2+p/:+g=0是一個(gè)一yC一次方程，稱為y〃+py'+qy=0的特征方程解一元二次方.k：=+,k2=則與以2對(duì)應(yīng)的y,=.必是y〃+py'+qy=O(p、q為常數(shù))的解但是￥

5、=0'義=/'是否線性無(wú)關(guān)？【能否構(gòu)成通解y〃+P/+qy=O(p、q為常數(shù))】分類討論：1.p2-4t/>0即kj<2是兩個(gè)不等實(shí)根，且&*常數(shù)，即y,=#線性無(wú)關(guān)所以y=C/

6、X+C2，"2.p2-4q

7、^>K=(cos/3x-isinx)復(fù)函數(shù)用起來(lái)不方便，不用其來(lái)構(gòu)造y"+py'+qy=O(p、q為常數(shù))的通解v⑴=丄(e^+e^)=e^cos^x取其線性組合：2久(x)=丄(?'A-e^x)=earsinj0x~2/殳(％)，么⑴是y〃+p/+qy=O(p、q為常數(shù))的解，且欠U)，、(為線性無(wú)關(guān).y”+py’+qy=O(p、q為常數(shù))的通解：y(x)=(C{cosfix+C2sinfix)3.p2-4^7=0此吋.即重根，記蠶根為k，yjx):#必足y〃+py'+qy=O(p、q為常數(shù))的一個(gè)解求通解，只需再找一個(gè)與y,(%)=線性無(wú)關(guān)的解.將上述這個(gè)解表示成y

8、=為待定函數(shù)但非常數(shù)，代入y〃+py'+qy=O(p、q常數(shù))，WW^[u1*+(2ifc+p)u^(k2+^+^)+w]=0,(k2+pk+q=0,k,=k2=--^所以u(píng)"=0.取u(x)=x，則得到y(tǒng)〃+py'+qy=O(p、q為常數(shù))的另一個(gè)解y=此時(shí)y〃+p/+qy=O(p、q為常數(shù))的通解為y(x)=(C^+C2x)Zv如何求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程y〃+P(x}y'+q(x)y=r(x},r(x)*O的通解？山剛開始的分析，只需求出它的一個(gè)特解y*(x)設(shè)齊次方程通解為yi(x)、>，2(x)是齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解設(shè)非齊次方程奮一個(gè)形如>(x)=

9、+的解.上一行十的C?C2已變易為待定闌數(shù)接卜‘來(lái)的任務(wù)是選擇Cj(x),C2(x),使)，，(0=(^0：)乂0)+(?20：)}20)是y〃+p(x)y'+q(x)y=r(x>，r(x)#O的一叫^解將y*O)=C,(x)>?j(x)+C2(x)y2(%)代入y"+p(x)y'+q(x>y=r(x}，r(x)#O中得到：y；(x)=C'1(x)yI(x)+C,2(x)y2(x)+C1(x)yI,(x)+C2(x)y2!(x)因?yàn)橹灰蟪鲆粋€(gè)特解，即只要確定一組函數(shù)CJxXqCr)，我們就有比較人的fcl由度對(duì)C,(X)，C2O)加以限