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《二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu).docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性常系數(shù)微分方程的解的求法二階線性常微分方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)p(x)、q(x)、r(x)是區(qū)間I上的已知函數(shù)y’’+p(x)y’+q(x)y=0齊次y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0,非齊次【一】對齊次方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=01.若y1(x)和y2(x)都是上述齊次方程的解，則C1y1(x)+C2y2（x）仍是上述方程的解.2.若y1(x)和y2(x)在區(qū)間I上線性無關(guān)，即αy1(x)+βy2(x)=0僅當(dāng)α=β=0時成立，則y=C1y1
2、(x)+C2y2（x）即是y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解。【y’’+p(x)y’+q(x)y=0的任何一個解可表示成y=C1y1(x)+C2y2（x）的形式】由上述1和2，求y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解，只需找到兩個其兩個線性無關(guān)的特解.【二】對非齊次方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0y*(x)是其一y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一個特解Y(x)是對應(yīng)齊次方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的某個解則1）y*’’+py*’+qy*=r2)y’’+py’+
3、qy=r兩式相減：（y-y*）’’+p(y-y*)‘+q(y-y*)=0記Y=y-y*,則Y是對應(yīng)齊次方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解y=y*+Y即：y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的任何一個解y(x)都可以表示為：y(x)=y*(x)+Y(x)即：非齊次方程的通解=非齊次方程的一個特解+對應(yīng)其次方程的通解.如何求二階線性常系數(shù)齊次微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解？設(shè)y(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，p、q均為常數(shù)則在I內(nèi)y’’(x)+py’(x)+qy(x)=0,
4、恒成立所以y’、py’、qy必須能夠抵消掉，即y、y’、y’’必須是同一類型的函數(shù).只能是指數(shù)函數(shù)令是方程y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的解即，可得是一個一元二次方程，稱為y’’+py’+qy=0的特征方程解一元二次方程得則與k1k2對應(yīng)的必是y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的解但是是否線性無關(guān)？【能否構(gòu)成通解y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）】分類討論：1.即k1k2是兩個不等實根，且，即線性無關(guān)所以1.是一對共軛的復(fù)根則線性無關(guān)復(fù)函數(shù)用起來不方便，不用其來構(gòu)造y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的通解取其線
5、性組合：是y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的解，且線性無關(guān).y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的通解：2.此時k1=k2，即重根，記重根為k，必是y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的一個解求通解，只需再找一個與線性無關(guān)的解.將上述這個解表示成，代入y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)），得到，所以u’’=0.取u(x)=x,則得到y(tǒng)’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的另一個解此時y’’+py’+qy=0（p、q為常數(shù)）的通解為如何求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠
6、0的通解？由剛開始的分析，只需求出它的一個特解y*(x)設(shè)齊次方程通解為，是齊次方程的兩個線性無關(guān)解設(shè)非齊次方程有一個形如的解.上一行中的已變易為待定函數(shù)接下來的任務(wù)是選擇，使是y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一個解將代入y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0中得到：因為只要求出一個特解，即只要確定一組函數(shù)，我們就有比較大的自由度對加以限制，如選擇使這樣，將代入y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0都是齊次方程的解，可將上式化簡為與是關(guān)于的線性代數(shù)方程組，解之，得再積一次分即可
7、求出.這就是參數(shù)變易法求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程.
