重要公式和其推導(dǎo)

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1、重要公式及其推導(dǎo)??信號流程圖和梅遜公式方塊圖對于圖解表示控制系統(tǒng)，是很有用的。但是當系統(tǒng)很復(fù)雜時，方塊圖的簡化過程是很繁雜的。信號流程圖，是另一種表示復(fù)雜控制系統(tǒng)中系統(tǒng)變量之間關(guān)系的方法。這種方法是S.J.梅遜(Mason)首先提出的。信號流圖信號流圖，是一種表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。當將信號流圖法應(yīng)用于控制系統(tǒng)時，首先必須將線性微分方程變換為以s為變量的代數(shù)方程。信號流圖是由網(wǎng)絡(luò)組成的，網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點用定向支線段連接。每一個節(jié)點表示一個系統(tǒng)變量，而每兩節(jié)點之間的聯(lián)結(jié)支路相當于信號乘法器。應(yīng)當指出，信號只能單向流通。信號流的方向由支路上的箭頭表示，而乘法因子則標在

2、支路線上。信號流圖描繪了信號從系統(tǒng)中的一點流向另一點的情況，并且表明了各信號之間的關(guān)系。正如所料，信號流圖基本上包含了方塊圖所包含的信息。用信號流圖表示控制系統(tǒng)的優(yōu)點，可以應(yīng)用所謂梅遜增益公式。根據(jù)該公式，不必對信號流圖進行簡化，就可以得到系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系。定義在討論信號流圖之前，首先必須定義如下一些術(shù)語：????節(jié)點，節(jié)點用來表示變量或信號的點。????傳輸，兩個節(jié)點之間的增益叫傳輸。????支路，支路是連接兩個節(jié)點的定向線段。支路的增益為傳輸。????輸出節(jié)點或源點，只有輸出支路的節(jié)點，叫輸出節(jié)點或源點。它對應(yīng)于自變量。????輸入節(jié)點或阱點，只有輸入支路的

3、節(jié)點，叫輸入節(jié)點或阱點。它對應(yīng)于因變量。????混合節(jié)點，既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點，叫混合節(jié)點。????通道，沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，叫通道。如果通道與任一節(jié)點相交不多于一次，就叫做開通道。如果通道的終點就是通道的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次，就叫做閉通道。如果通道通過某一節(jié)點多于一次，但是終點與起點在不同的節(jié)點上，那么這個通道既不是開通道，又不是閉通道。????回路，回路就是閉通道。????回路增益，回路中各支路傳輸?shù)某朔e，叫回路增益。????不接觸回路，如果一些回路沒有任何公共節(jié)點，就把它們叫做不接觸回路。????前向通道，如果從輸

4、出節(jié)點（源點）到輸入節(jié)點（阱點）的通道上，通過任何節(jié)點不多于一次，則該通道叫做前向通道。????前向通道增益，前向通道中，各支路傳輸?shù)某朔e，叫前向通道增益。圖2-9表示了節(jié)點、支路和支路傳輸。信號流圖的性質(zhì)下面介紹一些信號流圖的重要性質(zhì)。????1．支路表示了一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系。信號只能沿著支路上的箭頭方向通過。????2．節(jié)點可以把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有支路。????3．具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可以把它變成輸出?jié)點來處理。（見圖2-9,注意，具有單位傳輸?shù)闹窂膞3指向另一個節(jié)點，后者也以x3

5、表示。）當然，應(yīng)當指出，用這種方法不能將混合節(jié)點改變?yōu)樵袋c。????????4．對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。由于同一系統(tǒng)的方程可以寫成不同的形式，所以對于給定的系統(tǒng)，可以畫出許多種不同的信號流圖。信號流圖代數(shù)根據(jù)前面的定義，可以畫出線性系統(tǒng)的信號流圖。這樣做時，通常將輸出節(jié)點（源點）放在左面，而輸入節(jié)點（阱點）放在右面。方程式的自變量和因變量，分別變?yōu)檩敵龉?jié)點（源點）和輸入節(jié)點（阱點）。支路的傳輸可由方程的系數(shù)得到。為了確定輸入-輸出關(guān)系，可以采用梅遜公式。這個公式后面將要介紹。也可以將信號流圖簡化成只包含輸出和輸入節(jié)點的形式。為了進行這種簡化，需采用下列規(guī)則

6、：????1．如圖2-10(a)所示，只有一個輸出支路的節(jié)點的值為x2=ax1。????2．串聯(lián)支路的總傳輸，等于所有支路傳輸?shù)某朔e。因此，通過傳輸相乘，可以將串聯(lián)支路合并為單一支路，如圖2-10(b)所示。????3．通過傳輸相加，可以將并聯(lián)支路合并為單一支路，如圖2-10(c)所示。????4．混合節(jié)點可以消掉，如圖2-10(d)所示。????5．回路可以消掉，如圖2-10(e)所示。圖2-10信號流圖及其簡化梅遜公式用梅遜公式可以直接求信號流圖的傳輸。表示為（2-18）式中,Pk=第k條前向通道的通道增益或傳輸；Δ=流圖的特征式??=1-（所有不同回路的增益之和

7、）+（每兩個互不接觸回路增益乘積之和）???-（每三個互不接觸回路增益乘積之和）+…Δk=在除去與第k條前向通道相接觸的回路的流圖中，第k條前向通道特征式的余因子。總之，熟悉了梅遜公式之后，根據(jù)它去求解系統(tǒng)的傳輸，遠比用方塊圖變換方法簡便有效，對于復(fù)雜的多環(huán)系統(tǒng)和多輸入、多輸出系統(tǒng)尤其明顯。因此，信號流圖得到了廣泛的實際應(yīng)用，并常用于控制系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計