格點(diǎn)與面積_小學(xué)奧數(shù)知道點(diǎn)詳解.doc

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1、如下圖，在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上，如果任意相鄰平行線之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)（如下圖中的紅點(diǎn)），把圖中相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離看著一個(gè)單位長(zhǎng)度，把每個(gè)小正方形的面積看作一個(gè)面積單位（如圖中帶陰影的方格）。一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形，本講就，學(xué)習(xí)求格點(diǎn)多邊形的面積問題。這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便，一般有三種方法：①規(guī)則的格點(diǎn)多邊形，可以運(yùn)用多邊形的面積公式求出面積；②一些簡(jiǎn)單而又特殊的格點(diǎn)多邊形，可以通過數(shù)格子求出面積；③較復(fù)雜的不規(guī)則圖形，一般用皮克公式計(jì)算。其中數(shù)格子的方法比較

2、原始，很少用。任意格點(diǎn)多邊形，只要數(shù)出多邊形周界上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)及圖內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就可用下面的皮克公式算出面積：格點(diǎn)多邊形面積=內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)+邊格點(diǎn)數(shù)÷2-1這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理。皮克定理的證明：將格點(diǎn)圖中的每個(gè)點(diǎn)看作以這個(gè)點(diǎn)為圓心、以單位面積正方形的邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓。格點(diǎn)多邊形圖內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的面積都是圖形面積的一部分；而在多邊形邊界上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的面積只有一半屬于這個(gè)多邊形，且多邊形每個(gè)角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個(gè)圓，少了其外角對(duì)應(yīng)的扇形面積，因任意多邊形的外角和是360度，正好是

3、個(gè)整圓，所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為：周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1所以格點(diǎn)多邊形面積為：圖內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1。皮克定理的證明過程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步認(rèn)識(shí)格點(diǎn)面積公式，掌握格點(diǎn)面積公式的應(yīng)用，到初中還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)皮克定理。例1：求下面各圖形的面積?！窘馕觥浚簣D①是個(gè)平行四邊形，周界上有10個(gè)格點(diǎn)，圖內(nèi)有4個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖①的面積為：4+10÷2-1=8；圖②是個(gè)梯形，周界上有8個(gè)格點(diǎn)，圖內(nèi)有2個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖②的面積為：2+8÷2-1=5；圖③是個(gè)三角形，周界上有6個(gè)格點(diǎn)，圖內(nèi)有4個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖③的面

4、積為：4+6÷2-1=6；以上3個(gè)圖形都是規(guī)則圖形，但四年級(jí)學(xué)生還沒有學(xué)過這3種圖形的面積計(jì)算，不能用面積公式計(jì)算。圖④是個(gè)六邊形，周界上有8個(gè)格點(diǎn)，圖內(nèi)有9個(gè)格點(diǎn)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式，圖④的面積為：9+8÷2-1=12。這四個(gè)圖形也可以用數(shù)格子的方法計(jì)算面積。例2：下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？【解析】：這三個(gè)圖形都適合用格點(diǎn)面積公式計(jì)算面積。喇叭周界上有8個(gè)格點(diǎn)，圖內(nèi)沒有格點(diǎn)，面積為：0+8÷2-1=3；小貓周界上有20個(gè)格點(diǎn)，圖內(nèi)有2個(gè)格點(diǎn)，面積為：2+20÷2-1=11；小狗圖案可以看著是兩個(gè)格點(diǎn)多邊形組成，先分別求出每個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積，再求

5、出總面積。軀干面積：0+12÷2-1=5；尾巴面積：0+4÷2-1=1；總面積：5+1=6。像小狗圖案這樣，由兩個(gè)或兩個(gè)以上獨(dú)立的格點(diǎn)多邊形拼成的多邊形，要求其總面積，一般先求出每個(gè)獨(dú)立多邊形的面積，再求和，以免發(fā)生漏數(shù)多個(gè)獨(dú)立圖形公共格點(diǎn)的錯(cuò)誤。例3：下面是一個(gè)漂亮禮盒的平面圖，請(qǐng)你求出它的面積?！窘馕觥浚哼@個(gè)禮盒平面圖是由3個(gè)獨(dú)立的格點(diǎn)多邊形組成的。左邊三角形面積可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5；右邊三角形面積可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4；下面長(zhǎng)方形長(zhǎng)為6、寬為3，可以直接用長(zhǎng)方形面積公式算出面積：6×3=18；所以上圖總面積為：5+4+

6、18=27。例4：你知道下圖中共有多少個(gè)圖形嗎？每個(gè)圖形的面積各是多少？【解析】：這里所說的圖形既包括凸多邊形，也包括凹多邊形。圖中有8個(gè)三角形：?AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；有3個(gè)四邊形：ADBC,ABDC,ABCD?？梢杂闷た斯剿愠雒總€(gè)圖形的面積，例如四邊形ADBC的面積為：21+8÷2-1=24。其它圖形的面積：（略）。