大學(xué)力學(xué)振動(dòng)

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1、9.2.1一剛體可繞水平軸擺動(dòng).已知?jiǎng)傮w質(zhì)量為m，其重心C和軸O間的距離為h，剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I.問剛體圍繞平衡位置的微小擺動(dòng)是否是簡諧運(yùn)動(dòng)？如果是，求固有頻率，不計(jì)一切阻力.[解]剛體受力如圖所示，規(guī)定逆時(shí)針為轉(zhuǎn)動(dòng)正方向，為與鉛垂線（為平衡位置）的夾角，由對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理；因很小故9.2.2輕彈簧與物體的連接如圖所示，物體質(zhì)量為m，輕彈簧的勁度系數(shù)為和，支承面是理想光滑面，求系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率.[解]以物體m為隔離體,水平方向受的彈性力以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，水平向右為x軸正方向。設(shè)m處于點(diǎn)對(duì)兩彈簧的伸長量為0，即兩個(gè)彈簧都處于原長狀態(tài)。m發(fā)生一小位移x之后，

2、彈簧的伸長量為x，彈簧被壓縮長也為x。故物體受力為：（線性恢復(fù)力）m相當(dāng)于受到剛度系數(shù)為的單一彈簧的作用由牛頓第二定律：9.2.3一垂直懸掛的彈簧振子，振子質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為.若在振子和彈簧之間串聯(lián)另一彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一半.串聯(lián)上的彈簧的勁度系數(shù)應(yīng)是的多少倍？[解]未串時(shí)：平衡位置串聯(lián)另一剛度系數(shù)為的彈簧：此時(shí)彈簧組的勁度系數(shù)為已知：解得：9.2.4單擺周期的研究.（1）單擺懸掛于以加速度a沿水平方向直線行駛的車廂內(nèi).（2）單擺懸掛于以加速度a上升的電梯內(nèi).（3）單擺懸掛于以加速度a(

3、照系，擺錘為隔離體，受重力，擺線張力，慣性力。平衡位置處有：由此可得平衡位置時(shí)擺線鉛直夾角(1)由平衡位置發(fā)生小角位移由牛頓第二定律:在切線方向的分量式即角很小,故.于是得:利用(1)式,則即因?yàn)樗?2)以電梯為參照系,慣性力與重力沿鉛垂方向,同于的分析擺線為鉛垂位置時(shí)為平衡態(tài).(3)同(2)的分析得:9.2.5在通常溫度下，固體內(nèi)原子振動(dòng)的頻率數(shù)量級(jí)為.設(shè)想各原子之間彼此以彈簧連結(jié).一摩爾銀的質(zhì)量為108g且包含個(gè)原子.現(xiàn)僅考慮一列原子，且假設(shè)只有一個(gè)原子以上述頻率振動(dòng)，其它原子皆處于靜止，計(jì)算一根彈簧的勁度系數(shù).[解]由9.2.2知這里9.2.6一彈簧振子，彈簧的勁

4、度系數(shù)為，物體質(zhì)量為20g現(xiàn)將彈簧自平衡位置拉長并給物體一遠(yuǎn)離平衡位置的速度，其大小為7.0m/s，求該振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(SI).[解]以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O-x,水平向右為正方向。彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程為:故時(shí)，時(shí)，→彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程：9.2.7質(zhì)量為的物體懸掛在勁度系數(shù)為的彈簧下面.（1）求其振動(dòng)的周期.（2）在時(shí)，物體距平衡位置的位移為，速度為，求其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.[解]以平衡位置為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O-x，豎直向下為正方向。（1）（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為：即故所以運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：9.2.8（1）一簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，若計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前0.5s，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何表示？欲使其初相

5、為零，計(jì)時(shí)起點(diǎn)應(yīng)提前或推遲若干？（2）一簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為.若計(jì)時(shí)起點(diǎn)推遲1s，它的初相是多少？欲使其初相為零，應(yīng)怎樣調(diào)整計(jì)時(shí)起點(diǎn)？（3）畫出上面兩種簡諧振動(dòng)在計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變前后時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量的位置.[解]（1）（1）計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前0.5，則，代入（1）式，運(yùn)動(dòng)方程為：設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前秒，可使初相為零，即，代入（1）式得：有即提前秒時(shí)計(jì)時(shí)可使其初相為零。（2）（2）計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前秒時(shí)代入若計(jì)時(shí)起點(diǎn)推遲一秒，則，此時(shí)初相為若要，需即推遲秒計(jì)時(shí)時(shí)，可使初相為零。（3）見圖a,b????(a)(b)9.2.9畫出某簡諧振動(dòng)的位移——時(shí)間曲線，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為（SI制）[解]（制）令則有為周

6、期引的余弦曲線。畫出曲線，再根據(jù)的關(guān)系。將軸右移周期。9.2.10半徑為R的薄圓環(huán)靜止于刀口O上，令其在自身平面內(nèi)作微小擺動(dòng).（1）求其振動(dòng)的周期.（2）求與其振動(dòng)周期相等的單擺的長度.（3）將圓環(huán)去掉而刀口支于剩余圓弧的中央，求其周期與整圓環(huán)擺動(dòng)周期之比.[解]（1）該裝置為物理擺，利用9.2.1對(duì)一般剛體得到的公式為薄圓球質(zhì)量。根據(jù)平行軸定理：（2）根據(jù)單擺公式由可得（3）該裝置為物理擺，仍利用公式由對(duì)稱性可知，質(zhì)心位于上。為剩余圓弧的質(zhì)量，。根據(jù)平衡軸定理。故即可知不管圓環(huán)去掉多少，只要刀口高于剩余圓弧中央，其振動(dòng)周期均不變。9.2.111m長的桿繞過其一端的水平軸

7、作微小擺動(dòng)而成為物理擺.另一線度極小的物體與桿的質(zhì)量相等.固定于桿上離轉(zhuǎn)軸為h的地方.用表示未加小物體時(shí)桿子的周期，用表示加上小物體以后的周期.（1）求當(dāng)和時(shí)的比值.（2）是否存在某一h值，可令，若有可能，求出h值并解釋為什么h取此值時(shí)周期不變.[解]（1）利用9.2.1得到的物理擺公式設(shè)為桿質(zhì)量，為桿長，未加小物體時(shí)，加小物體后，（2）由，即可得：討論：由，此物理擺的等效單擺長度為。在處加另一物體，相當(dāng)于使等效單擺的擺錘質(zhì)量增加而擺長不變，故周期不變。，即小物體置于轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，對(duì)運(yùn)動(dòng)無影響。故周期不變。9.2.12天花板下以0