可分離變量的微分方程

《可分離變量的微分方程》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、可分離變量的微分方程§12．2可分離變量的微分方程觀察與分析對稱形式的一階微分方程、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程的解法鈾的衰變問題降落傘下落速度問題可分離變量的微分方程觀察與分析：1．求微分方程y??2x的通解．把方程兩邊積分，得y?x2?C，這就是方程的通解這里積分后不再加任意常數(shù)．2．求微分方程y??2xy2的通解．接積分不能求出通解．可分離變量的微分方程觀察與分析：一般地，如果一階微分方程y??j(x,y)能寫成g(y)dy?f(x)dx形式，則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程G(y)?F(x

2、)?C，由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解．2．求微分方程y??2xy2的通解．可分離變量的微分方程觀察與分析：對稱形式的一階微分方程：一階微分方程有時也寫成如下對稱形式：P(x，y)dx?Q(x，y)dy?0在這種方程中，變量x與y是對稱的．就是說既可把x看作自變量、y看作未知函數(shù)，又可把y看作自變量、x看作未知函數(shù)．可分離變量的微分方程：如果一個一階微分方程能寫成g(y)dy?f(x)dx的形式，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程．可分離變量的微分方程的解法：第一步分離變量，將方程y??j

3、(x,y)寫成g(y)dy?f(x)dx的形式；設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C；第三步求出由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y?F(x)或x?Y(y)．以上G(y)?F(x)?C，y?F(x)或x?Y(y)都是方程的通解，其中G(y)?F(x)?C稱為隱式（通）解．第二步兩端積分解此方程為可分離變量方程，分離變量后得兩邊積分得即ln

4、y

5、?x2?C1，例2鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比．已知t?0時鈾的含量為M0，求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律．衰變速度與其含量成正比，故得微分方

6、程其中l(wèi)(l>0)是常數(shù)，l前的曲面號表示當(dāng)t增加時M單調(diào)減少．由題意，初始條件為M

7、t?0?M0．例2鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比．已知t?0時鈾的含量為M0，求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律．解問題歸結(jié)為求解初值問題M

8、t?0?M0．兩邊積分，得lnM??lt?lnC，即M?Ce?lt．由初始條件，得M0?Ce0?C，所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M?M0e?lt．降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))．根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律F?ma，得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為例3設(shè)降落

9、傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零．求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系．解設(shè)降落傘下落速度為v(t)．初始條件為v

10、t?0?0．mgkv例3設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零．求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系．解設(shè)降落傘下落速度為v(t)．v

11、t?0?0．問題歸結(jié)為求解初值問題所以原方程是可分離變量的微分方程．在分離變量后的方程兩邊積分，得