可分離變量微分方程

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1、第二節(jié)可分離變量的微分方程微分方程的類型是多種多樣的，它們的解法也各不相同.從本節(jié)開(kāi)始我們將根據(jù)微分方程的不同類型，給出相應(yīng)的解法.本節(jié)我們將介紹可分離變量的微分方程以及一些可以化為這類方程的微分方程，如齊次方程等.內(nèi)容分布圖示★可分離變量微分方程★例1★例2★例3★例4★例5★齊次方程★例6★例7★例8★例9★例10★可化為齊次方程的微分方程★例11★例12★例13★例14★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題8-2★返回內(nèi)容要點(diǎn)：一、可分離變量的微分方程設(shè)有一階微分方程,如果其右端函數(shù)能分解成，即有.(2.1)則稱方程(2.1)為可分離變量的微分方程，其中

2、都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點(diǎn)，我們可通過(guò)積分來(lái)求解.求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法.二、齊次方程：形如(2.8)的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡(jiǎn)稱齊次方程..三、可化為齊次方程的方程：對(duì)于形如的方程，先求出兩條直線的交點(diǎn)，然后作平移變換即這時(shí)，，于是，原方程就化為齊次方程例題選講：可分離變量的微分方程例1（講義例1）求微分方程的通解.例2（講義例2）求微分方程的通解.注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過(guò)程中,我們?cè)诩俣ǖ那疤嵯?用它除方程兩邊,這樣得到的通解,不包含使的特解.但是,有時(shí)如果我們擴(kuò)大任意常數(shù)C的取值范圍,則其失

3、去的解仍包含在通解中.如在例2中，我們得到的通解中應(yīng)該，但這樣方程就失去特解，而如果允許，則仍包含在通解中.例3已知當(dāng)時(shí),求例4（講義例3）設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻.試求物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律.注：物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.例如，警方破案時(shí)，法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時(shí)的溫度推斷這個(gè)人的死亡時(shí)間，就可以利用這個(gè)模型來(lái)計(jì)算解決，等等.設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻.試求物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律.注：物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.例如，警方破案時(shí)，法醫(yī)要根據(jù)尸

4、體當(dāng)時(shí)的溫度推斷這個(gè)人的死亡時(shí)間，就可以利用這個(gè)模型來(lái)計(jì)算解決，等等.例5（講義例4）某公司t年凈資產(chǎn)有(百萬(wàn)元),并且資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增長(zhǎng),同時(shí)該公司每年要以300百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(1)給出描述凈資產(chǎn)的微分方程;(2)求解方程,這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為(3)討論在三種情況下,變化特點(diǎn).齊次方程例6（講義例5）求解微分方程滿足初始條件的特解.例7求解微分方程例8（講義例6）求解微分方程例9求下列微分方程的通解:例10（講義例7）設(shè)商品A和商品B的售價(jià)分別為已知價(jià)格與相關(guān),且價(jià)格相對(duì)的彈性為求與的函數(shù)關(guān)系式.可化為齊次方程的方程

5、例11（講義例8）求的通解.例12（講義例9）利用變量代換法求方程的通解.例13求微分方程的通解.例14求下列微分方程的通解:課堂練習(xí)1.求微分方程的通解.2.求微分方程的通解.3.方程是否為齊次方程?