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1、轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程第七章分離變量方程的解法:設(shè)y＝?(x)是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G?(y)?g(y)?0時(shí),的隱函數(shù)y＝?(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F?(x)=f(x)≠0時(shí),由②確定的隱函數(shù)x＝?(y)也是①的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),說明由②確定例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得
2、即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為例3.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:練習(xí):解法1分離變量即(C<0)解法2故有積分(C為任意常數(shù))所求通解:積分例4.子的含量M成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解:根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘
3、從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t足夠大時(shí)例6.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h隨時(shí)間t的變解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由h降到對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:兩端積分,得利用初始條件,得則得容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t的關(guān)系:可見水流完所需時(shí)間為因此內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例
4、如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x及y=C找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:P298題5(2))2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2)利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟例4例5例6思考與練習(xí)求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為練習(xí)題練習(xí)題答案
