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1、第二節(jié)可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程二、典型例題一、可分離變量的微分方程形如的方程，稱為可分離變量的微分方程.分離變量，得：①設y=?(x)是方程①的解,則有恒等式：兩邊積分,得即：設函數(shù)G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一個原函數(shù),②則有當G(y)與F(x)可微且G'(y)=g(y)?0時,說明由②確定的隱函數(shù)y=?(x)是①的解.稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當F'(x)=f(x)?0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x=?(y)也是①的解.一、可分離變量的微分方程形如的方程，稱為可分離變量的微分方程.求解步驟：(變量分離法)1、分離變量,得2、兩邊積分,得
2、3、求出通解隱函數(shù)確定的微分方程的解微分方程的隱式通解例1求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得二、典型例題解得例2求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得解得解分離變量,得兩端積分,得解得解根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:解根據(jù)牛頓第二定律,得初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解例設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比,并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系.t足夠大時解分離變量,解得然后積分:可分離變量的微分方程初值問題:的解也可直接用變上限積分來確定
3、：分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分——隱式通解.三、小結若是求特解，還需根據(jù)初值條件定常數(shù).(1)找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關系列方程,2)根據(jù)物理規(guī)律列方程,3)根據(jù)微量分析平衡關系列方程.(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定初值條件.(3)求通解,并根據(jù)初值條件確定特解.3.解微分方程應用題的方法和步驟思考與練習求方程的通解:提示:方程變形為練習題練習題答案例9有高為1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1cm2(如圖).開始時容器內盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化
4、規(guī)律.解由力學知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設在微小的時間間隔水面的高度由h降至h+dh,比較(1)和(2)得:即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為
