最短路線與最速降線

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1、WORD文檔可編輯最短路線和最速降線技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯一、最短路線1．問題設(shè)一輛汽車停止于處并垂直于方向，此汽車可轉(zhuǎn)彎的最小圓半徑為,求不倒車時由移到的最短路線。（1）討論的情形。（2）簡單討論的情形。2．假設(shè)將汽車視為一個點，汽車行走的路線視為一條曲線。3．建模（1）討論的情形。以為軸正向，作一半徑為的圓與軸切于點，問題就是要找一條最短曲線連結(jié)，在點切于軸正向，且任一點的曲率半徑不小于。直觀上不難猜測出最短路徑。從點向圓做切線，那么由點沿圓弧移到點，再沿直線移到點，這就是最短路徑（如

2、圖1所示）。為了證明這一事實，作一條直線通過圓的中心和點。假設(shè)汽車沿某一條曲線由點移到點，因、分別在直線兩側(cè)，與必有一交點被分成弧和弧兩段。因與垂直，弧的長度必不小于線段的長度（當(dāng)且僅當(dāng)弧與線段重合時才可能相等）。設(shè)弧的參數(shù)方程為圖1其中為弧長。在點處，曲線的切線與軸的夾角記為，依條件有當(dāng)時，故從而。研究曲線上的點與直線的距離（在的右邊為正）因為技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯故因此當(dāng)時，有當(dāng)時,。故故當(dāng)時，這就是說，當(dāng)汽車移動距離不超過（就是弧的長度）時，它不可能越過直線。因此弧的長度至少為,并且

3、只有當(dāng)弧與完全重合時，它的長度才能等于?？偨Y(jié)上述討論，知曲線的長度必不小于并且只有當(dāng)與重合時才可能相等。因此是唯一的最短路徑。（2）若點在圓內(nèi)，即則應(yīng)過點作一半徑的圓，其圓心在延長線上，再過點作一圓，半徑為，且與前圓切于點，則最短路徑是弧和弧所組成的曲線（如圖2所示）。圖2技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯二、最速降線1．問題意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個分析學(xué)的基本問題──“鉛直平面內(nèi)給定不在一條垂直線上的兩個點A,B,如圖3,求連接它們的光滑曲線，使質(zhì)點在重力作用下沿該曲線以最短時間從A點

4、滑到B點（摩擦力不計）”。他說這曲線是圓，可是這是一個錯誤的答案。瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利在1696年再提出這個最速降線的圖3問題（problemofbrachistochrone），征求解答。次年已有多位數(shù)學(xué)家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)和伯努利兄弟。牛頓用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程，約翰·伯努利用光學(xué)的辦法巧妙的也解出最速降線方程，雅各布·伯努利用比較麻煩的辦法解決了這個問題。這問題的正確答案是連接兩個點上凹的唯一一段旋輪線或圓滾線。旋輪線與1673年荷蘭科學(xué)家惠更斯討論的擺

5、線相同。因為鐘表擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時曲線。數(shù)學(xué)家十分關(guān)注最速降線問題，大數(shù)學(xué)家歐拉也在1726年開始發(fā)表有關(guān)的論著，在雅各布·伯努利方法的基礎(chǔ)上，1744年最先給了這類問題的普遍解法，并產(chǎn)生了變分法這一新數(shù)學(xué)分支。現(xiàn)在來看，雅各布的方法是最有意義和價值的。2．假設(shè)質(zhì)點在滑動過程中不考慮空氣阻力。3．模型盡管A，B兩點間的最短距離是連接它們的直線，但是沿直線運動時速度增長較慢，如果沿一條陡峭的曲線下滑，雖然路徑加長，但運動速度增長很快。為了求這條運動時間最短的曲線

6、，在圖3中將A點取為坐標(biāo)原點（0,0），B點坐標(biāo)為（x1,y1），連接A，B的曲線記為y(x)，于是曲線上的弧長為技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯.根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點在曲線y(x)上任一點的速度滿足,其中m是質(zhì)點的質(zhì)量，g是重力加速度。將上面ds的關(guān)系代入，得到,于是質(zhì)點沿曲線y(x)從A點滑到B點的時間可表示為(1)y(x)在A，B兩個端點應(yīng)有y(0)=0,y(x1)=y1(2)最速降線問題歸結(jié)為求y(x)，在滿足（2）的條件下，使（1）的J(y(x))達(dá)到最小。4．求解約翰·伯努利設(shè)想質(zhì)點也

7、像光線那樣按從A到B耗時最少的路徑滑行，根據(jù)光學(xué)原理（史奈爾折射定律）得（3）由能量守恒定律得（4）由幾何關(guān)系得（5）由（3）、（4）、（5）得（6）技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯上述解法讓我們見識了數(shù)學(xué)建模中的類比想象能力是何等的寶貴?，F(xiàn)實世界各種現(xiàn)象之間的模擬是一種重要的科研方法。約翰·伯努利解決最速降線的方法非常奇妙，表現(xiàn)出驚人的想象力，可以說是一項水平極高的藝術(shù)工作。5．應(yīng)用滑梯是兒童樂園中常見的玩具。有的滑梯的滑板是平直，還有一種滑梯是彎曲的，它的滑面是旋輪線。旋輪線滑面上的小朋友可以最

8、短時間到達(dá)地面。技術(shù)資料專業(yè)分享WORD文檔可編輯最速降線在建筑中也有著美妙的應(yīng)用。我國古建筑中的“大屋頂”，從側(cè)面看上去，“等腰三角形”的兩腰不是線段，而是兩段最速降線。按照這樣的原理設(shè)計，在夏日暴雨時，可以使落在屋頂上的雨水，以最快的速度流走，從而對房屋起到保護(hù)的作用。謝謝！技術(shù)資料專業(yè)分享